Pfaffsches Polynom

04.07.2009, 12:17

Felix

Pfaffsches Polynom

K sei ein Körper mit $\begin{eqnarray*} char K \neq 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei gerade (n=2m) und ungleich 0. $\begin{eqnarray*} A \in M(n ~x ~n; K) \end{eqnarray*}$ ist schiefsymmetrisch.

Definiert man

$\begin{eqnarray*} P(x_{11}, ... , x_{nn}) := \sum~ sign (\pi) \cdot x_{\pi(1)\pi(2)} \cdot ... \cdot x_{\pi(2m -1) \pi(2m)} \end{eqnarray*}$

wobei über alle $\begin{eqnarray*} \pi \in S_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pi(2i) > \pi (2i - 1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1, ... , m \end{eqnarray*}$ summiert wird, so gilt $\begin{eqnarray*} det A = (\frac {1}{m!}P(x_{11}, ... , x_{nn}))^2 \end{eqnarray*}$

Nunja, das soll ich zeigen bin aber ziemlich ratlos wie ich überhaupt anfangen soll.
Würde mich also über einen Ansatz sehr freuen.

lg

04.07.2009, 12:27

tigerbine

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RE: Pfaffsches Polynom
Ich kenne mich nicht aus. Hast du das wiki schon gelesen? Und vielleicht hilft die Darstellung der Det mit Leibniz

tigerbine out. Wink

04.07.2009, 12:56

Felix

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Ich weiche damit zwar von der eigentlichen Aufgabenstellung ab, aber ich beziehe mich mal auf den Wikipedia - Artikel.

Zitat:

Sei die Menge aller Partitionen von {1, 2, …, 2n} in Paare ohne Beachtung der Reihenfolge. Es gibt (2n − 1)!! solcher Partitionen.

Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Für mich sieht das Ganze so aus:

Man muss hintereinander n Paare wählen. Man hat jeweils $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2(n - j) \\ 2 \end{pmatrix} =\frac{(2(n - j))(2n - 1 - 2j)}{2} \end{eqnarray*}$ beim j-ten Mal wählen. Insgesammt komme ich auf $\begin{eqnarray*} (2n - 1)!! \cdot n!! \end{eqnarray*}$

Zitat:

Sei \pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix} eine korrespondierende Permutation und sei sgn(±) die Signatur von À.

Ist diese korrespondierende Permutation durch diese nicht eindeutig bestimmt ?

lg

04.07.2009, 14:01

Leopold

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In solchen Fällen nehme ich, um die Formel erst einmal zu verstehen, ein einfaches, aber nichttriviales Beispiel. Hier bietet sich wohl $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ an. Für das Polynom in den Koordinaten von $\begin{eqnarray*} X = \left( x_{ij} \right) \end{eqnarray*}$ schreibe ich kurz $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ . Nach Definition gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X) = \left( \frac{1}{2} \left( x_{12} x_{34} - x_{13} x_{24} + x_{14} x_{23} + x_{23} x_{14} - x_{24} x_{13} + x_{34} x_{12} \right) \right)^2 \end{eqnarray*}$

Und genau dieses Polynom sollte sich bei der Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & x_{12} & x_{13} & x_{14} \\ -x_{12} & 0 & x_{23} & x_{24} \\ -x_{13} & -x_{23} & 0 & x_{34} \\ -x_{14} & -x_{24} & -x_{34} & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ergeben. Jetzt versuche in diesem Fall, mit Hilfe von Determinantenregeln das obige Polynom herzustellen.

04.07.2009, 16:12

Felix

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Zitat:

Jetzt versuche in diesem Fall, mit Hilfe von Determinantenregeln das obige Polynom herzustellen.

Was meinst du damit ? Soll ich die Determinante dieser Matrix berechenen ? (Hab mal damit begonnen (Laplace) aber irgendwie denke ich nicht, dass mir das irgendetwas bringt verwirrt

)

Noch eine Frage zu meinen Angaben. Dieses Polynom ist ja eindeutig nicht in den Koordinaten der Hauptachse warum ist dann $\begin{eqnarray*} P(x_{11}, ... , x_{nn}) \end{eqnarray*}$ angeschrieben?

04.07.2009, 16:37

Leopold

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So ist's wohl gemeint:

$\begin{eqnarray*} P(x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n},x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n},\ldots,x_{n1},x_{n2},\ldots,x_{nn}) \end{eqnarray*}$

Wirklich unglücklich, diese Angabe! Gerade die Elemente der Hauptdiagonalen kommen ja im Polynom nicht echt vor. Und eigentlich sind auch die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen überflüssig. Schließlich ist die Matrix ja schiefsymmetrisch.

05.07.2009, 13:30

Felix

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Ich habe die Determinante für n=4 ausgerechnet und konnte auch zeigen, dass sie mit dem Polynom übereinstimmt, bin jedoch trotzdem noch völlig ratlos verwirrt

Ich könnte den Beweis über Induktion versuchen (Laplace-Entwicklung), bringt mich das weiter ?

lg und schon mal danke an Alle für ihre Mühen smile

18.05.2010, 12:58

gonnabphd

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Ist das inzwischen gelöst worden? Denn ich stehe vor dem gleichen Problem...

Grüsse Wink

18.05.2010, 18:36

gonnabphd

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Hat sich nun doch erledigt.

Grüsse Wink

18.05.2010, 18:38

tigerbine

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Dann kannst du ja was zur Lösung ergänzen. Augenzwinkern

18.05.2010, 19:47

gonnabphd

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Naja, ich befürchte der Rand hat in diesem Falle zu wenig Platz für meinen wahrlich wunderbaren Beweis...

Übungsbuch zur Linearen Algebra, Hannes Stoppel und Birgit Griese, S.160-162

Den Beweis von dort abschreiben werde ich jedenfalls nicht.

Die Idee ist:

- Determinante mit Leibniz
- betrachte einen Summanden davon
- man mache sich klar, dass nur Permutationen mit geradem Zykel von Bedeutung sind
- finde eine eindeutige Darstellung der Permutation als Produkt von zwei Permutationen (die zumindest die Bedingungen von obern erfüllen) und Transpositionen
- zähle alle Möglichkeiten, wenn die beiden Permutationen bloss obige Bedingung erfüllen müssen.
- zeige, dass auch jeder Summand von (P(...))^2 in detA auftritt

Wink

18.05.2010, 19:49

tigerbine

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Dankeschön.

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