Kontraktion

04.07.2009, 12:23

Mathe-King

Kontraktion

Hallo an alle,

Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} (Ku)(x)=\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}u(y)~dy,\; u\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie das $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion auf $\begin{eqnarray*} C([0,1]) \end{eqnarray*}$ definiert.

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \|(Ku)(x)-(Kv)(x)\| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}u(y)~dy-\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}v(y)~dy\| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|\frac{x}{8}\int_0^1~ \frac{y}{4}(u(y)-v(y))~dy\| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |\frac{1}{8}\underset{y\in[0,1]}{\max}|u(y)-v(y)|\int_0^1~ \frac{y}{4}dy | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{16}\|u(y)-v(y)\| \end{eqnarray*}$

Kritik?

04.07.2009, 18:17

WebFritzi

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Ja. Addition ist nicht Multiplikation!

Außerdem kannst du dir die Norm um das Integral schenken. Es ist der gewöhnliche Betrag reeller (bzw. kompexer Zahlen).

EDIT: Und wenn du Funktionen abschätzt, benutze lieber das Symbol der Maximumsnorm anstatt max(blabla). Das sieht einfach doof aus.

04.07.2009, 19:11

Mathe-King

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RE: Kontraktion
$\begin{eqnarray*} \|(Ku)(x)-(Kv)(x)\|_\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}u(y)~dy-\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}v(y)~dy\| _\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}(u(y)-v(y))~dy\| _\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq\|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}~dy\|_\infty\|u(y)-v(y)\| _\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|\frac{x}{8}+\frac{1}{8}\|_\infty\|u(y)-v(y)\| _\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq\frac{1}{4}\|u(y)-v(y)\| _\infty \end{eqnarray*}$

So besser?

04.07.2009, 19:39

WebFritzi

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RE: Kontraktion

Zitat:

Original von Mathe-King
$\begin{eqnarray*} \|(Ku)(x)-(Kv)(x)\|_\infty \end{eqnarray*}$

Ist schon Unsinn. (Ku)(x) und (Kv)(x) sind Zahlen. Hier ist (wie ich bereits sagte) der Betrag zu wählen.

Zitat:

Original von Mathe-King
$\begin{eqnarray*} =\|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}u(y)~dy-\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}v(y)~dy\| _\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}(u(y)-v(y))~dy\| _\infty \end{eqnarray*}$

Das ist wenigstens richtig, wenn man die Norm durch den Betrag ersetzt. Der Rest, der danach kommt, ist Bullshit.

04.07.2009, 20:24

Mathe-King

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K ist doch eine Abbildung auf C([0,1])...
Das ist doch absolut Bullshit wenn man die Aufgabenstellung nur halb liest...
Und könntest du mir auch noch sagen, was an den abschätzungen deiner Meinung nach Bullenkot sein soll?
Achso und lass dich nicht stören, dass ich die gleiche vulgäre Wortwahl wie du benutze.
Sollte dir selber ja nichts ausmachen, wenn du diese Wörter so zügellos benutzt.

Gruß

04.07.2009, 20:33

WebFritzi

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Nö, hab kein Problem damit. Ich weiß ja, dass ich (zumindest hier) keinen Bullshit schreibe. Augenzwinkern

Zum Beispiel: Ist f eine reellwertige Funktion, dann macht $\begin{eqnarray*} \|f(x)\|_\infty \end{eqnarray*}$ nicht viel Sinn, da f(x) ein Wert ist und keine Funktion. Was du meinst, ist $\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty. \end{eqnarray*}$

Fang nochmal an und benutze Beträge anstatt der Norm. Die kommt erst ganz am Ende dran.

04.07.2009, 20:47

Mathe-King

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Okay, du hast einen Standpunkt den du anscheinend vehement verteidigen möchtest. Schön ich auch. Augenzwinkern

Die Intergration bei K gibt mir keine reelle Zahl, sondern eine Funktion mit der Variablen x, oder was denkst du, warum das x, nach dem nicht integrert wird (sondern nach y), im Integral steht?
Außerdem ist eine Kontraktion schon von vorneherein eine Abbildung von M nach M, wenn M ein metrischer Raum ist, d.h. (wirst du sicher auch selber wissen, aber trotzdem der vollständigkeit halber) das es in dem Raum landet, woher es kommt. Da wir aus C([0,1]) kommen sollten wir auch da landen.
Daher ist der Betrag für mich hier einfach Bullen-, nein sogar Elefantenkot.

Dein Kommentar...

04.07.2009, 20:55

WebFritzi

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Kommt.

Mit dir kann man quasseln. Schön. smile

OK, nochmal. Der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \|(Ku)(x) - (Kv)(x)\|_\infty \end{eqnarray*}$

macht keinen Sinn, denn was da in der Norm steht, ist (für jedes x) eine Zahl. Man schreibt das so nicht. Glaub mir. Auch, wenn x beliebig ist. Hingegen dazu macht

$\begin{eqnarray*} \|Ku - Kv\|_\infty \end{eqnarray*}$

wiederum Sinn. Das hast du auch gemeint, aber nicht geschrieben.

Benutze den Betrag und folgere, dass für alle x aus [0,1] gilt:

$\begin{eqnarray*} |(Ku)(x) - (Kv)(x)| \le L\|u - v\|_\infty \end{eqnarray*}$ mit einem L < 1.

Daraus folgt dann auch die gewünschte Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \|Ku - Kv\|_\infty \le L\|u - v\|_\infty. \end{eqnarray*}$

04.07.2009, 21:16

Mathe-King

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Jetzt wird mir der Schmarn bewusst...
Es ging also um die Schrweibweise.
Ja, das macht Sinn $\begin{eqnarray*} \|Ku\|_\infty \end{eqnarray*}$ anstelle $\begin{eqnarray*} \|(Ku)(x)\|_\infty \end{eqnarray*}$ .

So, let's do it again...

$\begin{eqnarray*} |(Ku)(x)-(Kv)(x)\| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}u(y)~dy-\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}v(y)~dy| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}(u(y)-v(y))~dy| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}~dy|\|u(y)-v(y)\| _\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{x}{8}+\frac{1}{8}|\|u(y)-v(y)\| _\infty\; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq\frac{1}{4}\|u(y)-v(y)\| \end{eqnarray*}$

Die erste Abschätzung befriedigt mich noch nicht ganz. Diese benutzte unser Professore aber schon etliche Male.

p.s. kannst ja mal zum Kaffeekränzchen vorbeikommen Augenzwinkern

Gruß

04.07.2009, 21:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathe-King
Die erste Abschätzung befriedigt mich noch nicht ganz.

Mich auch nicht. Du machst dort nämlich wieder den gleichen Fehler. ||u(y) - v(y)|| macht keinen Sinn! Ansonsten wende doch erstmal lieber die Standard-Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \left|\int\,f(x)\,dx\right| \le \int\,|f(x)|\,dx \end{eqnarray*}$

an.

04.07.2009, 21:44

Mathe-King

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Sorry, das ist mir fast peinlich...

$\begin{eqnarray*} |(Ku)(x)-(Kv)(x)\| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}u(y)~dy-\int_0^1~ \frac{x+2y}{8}v(y)~dy| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\int_0^1~\frac{x+2y}{8}(u(y)-v(y))~dy| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq\int_0^1~| \frac{x+2y}{8}(u(y)-v(y))|~dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \underset{y\in[0,1]}{\max}|\frac{x+2y}{8}(u(y)-v(y))| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \underset{y\in[0,1]}{\max}|\frac{x+2y}{8}|\underset{y\in[0,1]}{\max}|(u(y)-v(y))| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(\frac{x}{8}+\frac{1}{4})\|u-v\| _\infty\; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq\frac{1}{4}\|u(y)-v(y)\| \end{eqnarray*}$

04.07.2009, 21:46

Math-King

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die letzte Zeile sollte $\begin{eqnarray*} \leq \frac{3}{8}\|u-v\|_\infty \end{eqnarray*}$ sein

04.07.2009, 23:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Math-King
die letzte Zeile sollte $\begin{eqnarray*} \leq \frac{3}{8}\|u-v\|_\infty \end{eqnarray*}$ sein

Dann ist alles richtig. smile

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