Formel zur Winkelbestimmung bei Hauptachsentransformation

04.07.2009, 12:38	smiiile	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel zur Winkelbestimmung bei Hauptachsentransformation Hallo, ich bin gerade bei einer Hauptachsentransformation und möchte den Winkel berechnen, um den dabei meine Hauptachsen gedreht werden. Gegeben ist: $\begin{eqnarray} x_1^2 + 4 x_1x_2 + x_2^2=1 \end{eqnarray}$ Damit ist die symmetrische Matrix A $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun gibt es ja eine Formel um aus der Spur der Matrix direkt den Drehwinkel zu bestimmen. Ich weiß leider nicht mehr genau wie sie aussieht, aber es müsst für 2x2 matrizen ungefähr so sein: $\begin{eqnarray} cos \phi = 0.5 spur A \end{eqnarray}$ Spur A ist hier ja 1+1=2 und 0.5 2 = 1 und damit wäre $\begin{eqnarray} \phi = 0 \end{eqnarray}$ ich weiß aber, dass für den Winkel 45° rauskommen müssen. Ich komme aber nie auf 45 ° Kann es sein, dass ich für die angegebene Matrix A in der Formel vielleicht die normierte Transformationsmatrix verwenden sollte? Diese wäre ja hier $\begin{eqnarray} T= \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2}} & \frac{1}{ \sqrt{2}} \\ -\frac{1}{ \sqrt{2}} & \frac{1}{ \sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit wäre $\begin{eqnarray} cos \phi =0.5spur T = \frac{1}{ \sqrt{2}}\Rightarrow \phi = 45° \end{eqnarray*}$ Und kann ich mir auch irgendwie anschaulich vorstellen, warum diese Formel gilt? Gruß smiiile
04.07.2009, 19:34	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
T ist orthogonal und damit eine Drehmatrix: $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$
04.07.2009, 23:01	smiiile	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also sollte ich T in der Formel verwenden, da T die Drehmatrix ist. Ist auch irgendwie logisch, schließlich will ich den Drehwinkel berechnen und der wird ja gerade durch die Drehmatrix bewirkt. Aber wie komme ich auf das $\begin{eqnarray} cos \phi = 0.5 spur T \end{eqnarray}$ ? Vielleicht über die Determinante? Wenn ich die Determinante ausrechne, ergibt sich ja $\begin{eqnarray} cos^2(\phi) + sin ^2(\phi)=1 \end{eqnarray}$ hmm... ich weiß, dass die Formel für 3x3 matrizen so aussieht: $\begin{eqnarray} cos \phi = 0.5 * spur T-1 \end{eqnarray}$ und für 4x4 matrizen so: $\begin{eqnarray} cos \phi = 0.5 * spur T - 2 \end{eqnarray*}$ und da sind die Drehmatrizen ja gerade um eine 1 in der Diagonale erweitert. Also muss ich die Formel ja doch irgendwie aus dem Sinus und Cosinus zusammenbasteln...
04.07.2009, 23:18	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mensch Meier... Was ist denn die Spur von $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\;? \end{eqnarray}$
05.07.2009, 01:13	smiiile	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, jetzt... Danke für deine Antwort na die Spur ist die Summe der Diagonalelemente also $\begin{eqnarray} Spur T = cos\alpha + cos \alpha= 2cos \alpha \end{eqnarray}$ Und da alpha der Drehwinkel ist dividiere ich einfach durch zwei, dann habe ich nämlich nur noch $\begin{eqnarray} cos\alpha \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 0.5Spur T = cos \alpha \end{eqnarray}$ und das ist genau die gesuchte Formel für 3x3 matrizen ergibt sich dann als Spur: $\begin{eqnarray} Spur T = cos\alpha + cos \alpha+1= 2cos \alpha+1= 2 cos \alpha + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Spur T -1= 2 cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0.5 (Spur T -1) = cos \alpha \end{eqnarray}$ Dann muss ich also bei meiner Formel von oben die 1 noch mit in die Klammer nehmen. allgemein ergibt sich dann für nxn Matrizen $\begin{eqnarray} 0.5 (Spur T -n+2) = cos \alpha \end{eqnarray*}$ müsst so stimmen, oder?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »