Umkreis eines gleichseitigen Dreieck |
| 04.07.2009, 14:22 | tieuquay | Auf diesen Beitrag antworten » |
Umkreis eines gleichseitigen Dreieck
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| 04.07.2009, 14:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Umkreis eines gleichseitigen Dreieck Das geht auch ohne diese Sätze. 1. Beim gleichseitigen Dreieck fallen Umkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt usw. alle auf einen Punkt. 2. Der Schwerpunkt teillt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2:1 3. Da man das gleichseitige Dreieck quasi um den Umkreismittelpunkt rotieren kann, muss der Radius genau 2/3 der Seitenhalbierenden sein. Weiterhin muss der Abstand vom Fußpunkt der Seitenhalbierenden zum Umkreis 1/3 der Länge der Seitenhalbierenden sein. 4. Also weiß man (weil ebenso gilt: Höhe = Seitenhalbierende = ...), dass, wenn man die Höhe = 1 setzt, der Durchmesser 4/3 der Höhe beträgt. Wenn man den Durchmesser = 1 setzt, ist dann die Höhe 3/4 des Durchmessers. 
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| 04.07.2009, 15:15 | tieuquay | Auf diesen Beitrag antworten » |
der Punkt 2 ist am wichtigsten und ist, was ich grad suche. Können Sie mir das noch beweisen, dass es so ist? |
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| 04.07.2009, 15:22 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Durch die drei Seitenhalbierenden wird das Dreieck in sechs Teildreiecke geteilt. Je drei davon besitzen zusammen den selben Flächeninhalt, denn die Seitenhalbierenden teilen ja das Dreieck in zwei flächengleiche Teile: A1 + A2 + A3 = A4 + A5 + A6 A2 + A3 + A4 = A5 + A6 + A1 A3 + A4 + A5 = A6 + A1 + A2  http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/bilder/swp11.gifSubtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, so ergibt sich: A1 - A4 = A4 - A1 Daraus folgt, daß A1 = A4. Analog kann man die dritte von der ersten Gleichung subtrahieren sowie die dritte von der zweiten und erhält so insgesamt, daß die Flächeninhalte gegenüberliegender Dreiecke untereinander jeweils gleich sind. Die jeweils benachbarten Dreiecke A2|A3, A4|A5 und A1|A6 besitzen ebenfalls paarweise den selben Flächeninhalt, da sie jeweils gleiche Grundseiten haben (die Hälfte einer großen Dreiecksseite) und identische Höhen. Damit besitzen alle sechs kleinen Dreiecke denselben Flächeninhalt, denn A1 = A4 = A5 = A2 = A3 = A6 Wir betrachten die vierte und die sechste Dreiecksfläche. Die Höhen dieser Dreiecke sind parallel, da sie beide senkrecht auf der Seitenhalbierenden MB stehen. Damit entsteht eine Strahlensatzfigur mit dem Scheitel B. Weil P die Strecke BC halbiert, ist |BC|:|BP| = 2:1. Dann gilt nach dem 2. Strahlensatz auch h6:h4 = 2:1  http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/bilder/swp12.gifDie Dreiecke besitzen, wie wir oben gesehen haben, die selbe Fläche. Wenn aber die Höhe des linken doppelt so groß ist wie die des rechten, muß seine Grundseite halb so groß sein! Das bedeutet: |BS|:|MS| = 2, und damit teilt der Schwerpunkt S die Seitenhalbierende MB in zwei Abschnitte mit dem Längenverhältnis 2:1. Analog kann man je zwei Teildreicke betrachten, die an den anderen Seitenhalbierenden anliegen und kommt zu analogen Ergebnissen für die Lage von S auf diesen Strecken. Das Ganze kannst Du nachlesen bei: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/schwerpunktdreieck.htm |
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| 04.07.2009, 15:25 | tieuquay | Auf diesen Beitrag antworten » |
alles ist jetzt klar... vielen Dank!!! 
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