Normalverteilung Phi (5)

04.07.2009, 14:46

ashley14

Normalverteilung Phi (5)

Hallo!

Ich muss ein paar ziemlich genaue berechnungen durchführen und brauche dafür den genauen wert von phi (5). Dieser ist in den Formelsammlungen nicht zu finden, gebe ich das Integral in den GTR ein kommt auch kein vernünftiger wert raus.

Hoffe ihr könnt mir helfen

Liebe Grüße
ash

EDIT: P.S.: Es wäre lieb, wenn man mir auch gleichzeitig sagt, woher man diese Daten bekommen kann, da ich z.B. auch noch den genauen wert für Phi (6) bräuchte und weitere.

05.07.2009, 03:42

frank09

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RE: Normalverteilung Phi (5)
Eine gute Näherung für "große" z ist:

$\begin{eqnarray*} \phi(z)=1+\frac{\varphi(z)^2}{2\varphi'(z)} \end{eqnarray*}$

Herleitung ergibt sich durch das Anlegen einer Tangente an den Punkt $\begin{eqnarray*} (z|\varphi(z)) \end{eqnarray*}$ und das Bestimmen der Fläche zwischen Tangente und X-Achse für x>z. Diese Fläche zieht man von 1 ab und erhält so das Rest-Integral.

05.07.2009, 15:57

ashley14

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RE: Normalverteilung Phi (5)
hi
danke smile

das hat super geklappt für die werte von phi(5) und 6. Nur jetzt müsste ich phi(12) berechnen und da rundet mein Gtr (casio fx-9750G PLUS) auf 1 auf. Das ist jedoch leider zu ungenau. Gibt es da ein Programm mit dem man das genauer berechnen kann?

Liebe Grüße &danke
ash

05.07.2009, 22:58

frank09

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RE: Normalverteilung Phi (5)
Wenn du die Rest-Fläche separat berechnest, kommst du ja auf
$\begin{eqnarray*} -\frac{\varphi(12)^2}{2\varphi'(12)}=\frac{e^{-72}}{\sqrt{2\pi}24}=9\cdot 10^{-34} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \phi(12)=1-9\cdot 10^{-34}=0,9999999999999999999999999999999991 \end{eqnarray*}$

Diese Summe musst du "von Hand" ausrechnen oder eben mit der 10er Potenz ausdrücken.

06.07.2009, 10:06

Huggy

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RE: Normalverteilung Phi (5)
Wenn du die Stellenzahl deines Taschenechners ausnutzen willst, musst du, wie schon frank09 gesagt hat, bei positivem x erst $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) \end{eqnarray*}$ mit dem Rechner bestimmen und dann $\begin{eqnarray*} \Phi(x)=1-\Phi(-x) \end{eqnarray*}$ per Hand ausrechnen.

Dabei fällt dann auch auf, dass die Näherung von frank09 um ca. den Faktor 2 vom wahren Wert von $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) \end{eqnarray*}$ abweicht. Bessere Ergebnisse erzielst du mit der asymptotischen Entwicklung der Normalverteilung:

$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\frac{1}{x \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\left( 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{x^{2n}}\right )\quad x>0 \end{eqnarray*}$

Der entstehende Fehler ist kleiner als der Absolutwert des ersten vernachlässigten Terms und hat dasselbe Vorzeichen wie dieser. Selbst wenn man nur das erste Glied der Summe mitnimmt, ist der Fehler bei x = 5 schon deutlich unter 1 %.

27.07.2009, 17:03

ashley14

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RE: Normalverteilung Phi (5)

Zitat:

Original von frank09
Eine gute Näherung für "große" z ist:

$\begin{eqnarray*} \phi(z)=1+\frac{\varphi(z)^2}{2\varphi'(z)} \end{eqnarray*}$

Herleitung ergibt sich durch das Anlegen einer Tangente an den Punkt $\begin{eqnarray*} (z|\varphi(z)) \end{eqnarray*}$ und das Bestimmen der Fläche zwischen Tangente und X-Achse für x>z. Diese Fläche zieht man von 1 ab und erhält so das Rest-Integral.

Danke nochmal an alle. Huggy den term den du da vorschlägst würde meinen rechner glaube ich zum explodieren bringen....ich probiere nun wie frank das oben vorschlägt das zu beweisen. Allerdings kriege ich das nicht so wirklich hin. Letztendlich muss ich ja zunächst einmal die Nullstelle der Ableitung bestimmen, um die Grenzen für mein Integral zu haben. Wenn ich nun die Ableitung = 0 setzte bekomme ich x = ¼ was allerdings ein widerspruch ist.

Hoffe mir kann jemand helfen. Vllt hat auch jmd ne idee für die berechnung des Fehlers

Liebe Grüße

27.07.2009, 17:24

ashley14

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RE: Normalverteilung Phi (5)
Sry, EDIT Zeit ist gerade vorbei..

also man könnte das letztendlich die Fläche auch als Dreiecksfläche ebrechnen, wenn ich das richtig verstanden habe, aber wieder fehlt die Nullstelle der TAngente (blauer Punkt in der Skizze).....oder gibt es einen Satz , mithilfe dessen man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen dreiecks durch die Steigung der Hypothenuse ermitteln kann

Skizze;

27.07.2009, 18:19

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Mir fällt gerade was auf:

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\frac{1}{x \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\left( 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{x^{2n}}\right )\quad x>0 \end{eqnarray*}$

So darfst du das sicherlich nicht schreiben:

Die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n (2n-1)!! \cdot z^{2n} \end{eqnarray*}$ hat Konvergenzradius 0 (in Worten: Null), ist also in ihrer Gänze für kein $\begin{eqnarray*} z \neq 0 \end{eqnarray*}$ konvergent!

Durch eine entsprechende endliche Summe mit Restglied (und dessen Abschätzung) lässt sich das aber sicherlich so reparieren, dass die Formel numerisch zu gebrauchen ist. Da musst du aber nochmal ran, denn ich kenne diese Entwicklung nicht. Augenzwinkern

27.07.2009, 19:42

Huggy

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mir fällt gerade was auf:

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\frac{1}{x \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\left( 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{x^{2n}}\right )\quad x>0 \end{eqnarray*}$

@Arthur
Das ist richtig. Ich hatte gehofft, das durch 'asymptotische Entwicklung' genügend ausgedrückt zu haben. Denn so (endliche Summe + Restglied) sind doch asymptotische Entwicklungen generell zu verstehen. Und eine Abschätzung des Restglieds nach oben hatte ich schon angegeben.

Die Entwicklung ist aus:
Abramowitz/Stegun
Handbook of Mathematical Functions

@ashley 14
Du brauchst doch - je nach gewünschter Genauigkeit - nur wenige Terme der Summe. Das sollte deinen Rechner nicht überfordern. Schon bei Mitnahme nur des Terms für n =1 ergibt sich eine passable Genauigkeit. Ohne die Summe hinter der 1 in der Klammer hat man die Näherung von frank09.

27.07.2009, 20:11

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Zitat:

Original von Huggy
Das ist richtig. Ich hatte gehofft, das durch 'asymptotische Entwicklung' genügend ausgedrückt zu haben.

Das als Potenzreihe zu schreiben, ist dann aber trotzdem falsch. unglücklich

Zitat:

Original von Huggy
Und eine Abschätzung des Restglieds nach oben hatte ich schon angegeben.

Das habe ich überlesen, da meinst du wohl das:

Zitat:

Original von Huggy

Der entstehende Fehler ist kleiner als der Absolutwert des ersten vernachlässigten Terms

27.07.2009, 20:26

Huggy

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Huggy
Das ist richtig. Ich hatte gehofft, das durch 'asymptotische Entwicklung' genügend ausgedrückt zu haben.

Das als Potenzreihe zu schreiben, ist dann aber trotzdem falsch. unglücklich

Ich bin zutiefst betrübt und muss zudem gestehen, dass ich gerade weder Sack noch Asche greifbar habe. smile

Zitat:

Das habe ich überlesen, da meinst du wohl das:

Zitat:

Original von Huggy

Der entstehende Fehler ist kleiner als der Absolutwert des ersten vernachlässigten Terms

Ja.

27.07.2009, 20:32

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Ich erkenne, dass du mich nicht ernst nimmst, und es betrübt mich wirklich.

Das als Reihe zu schreiben impliziert, man könnte durch Berechnen einer genügend hohen Anzahl von Reihengliedern jede beliebige Genauigkeit erreichen - was hier bei dieser "Reihe" definitiv nicht möglich ist. Das Konstruktionsprinzip allein begrenzt bei festem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die mögliche Genauigkeit, da ist noch gar keine Numerik im Spiel. Zumindest bei "mittelgroßen" $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist das ein wichtiger Aspekt.

27.07.2009, 20:47

Huggy

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich erkenne, dass du mich nicht ernst nimmst, und es betrübt mich wirklich.

Das als Reihe zu schreiben impliziert, man könnte durch Berechnen einer genügend hohen Anzahl von Reihengliedern jede beliebige Genauigkeit erreichen - was hier bei dieser "Reihe" definitiv nicht möglich ist. Das Konstruktionsprinzip allein begrenzt bei festem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die mögliche Genauigkeit, da ist noch gar keine Numerik im Spiel. Zumindest bei "mittelgroßen" $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist das ein wichtiger Aspekt.

@Arthur
Nein, da verstehst du mich falsch.
Ich bin davon ausgegangen, dass das Schreiben einer unendlichen Reihe bei einer asymptotischen Entwicklung als rein symbolische Schreibweise verstanden wird, wie ja auch ein Differentialquotient nicht als Quotient, sondern als symbolische Schreibweise für einen Grenzwert verstanden wird. Und deshalb habe ich das als lässliche Sünde wider die mathematische Exaktheit angesehen.

Ich stamme halt noch aus der guten alten Zeit, als man Funktionen zeichnen durfte und nicht den Graphen einer Funktion zeichnen musste.

27.07.2009, 20:56

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Tja, dann befinden wir uns wohl in unterschiedlichen Symbolwelten: Die Reihensymbolik sollte m.E. nicht für andere Dinge missbraucht werden. Und da man das mit endlichen Summen auch ausdrücken kann, habe ich auch kein Verständnis für diesen irreführenden Missbrauch. Ich hätte mir gewünscht, dass du über das von mir aufgezeigte Definitionsproblem deiner Funktion (was über ein reines Symbolproblem weit hinausgeht) wenigstens mal 5 Minuten nachgedacht hättest. Aber zurück kam nur enttäuschende Flapsigkeit. unglücklich

Aber lassen wir's gut sein, ich habe dich offenbar in deiner Unterhaltung mit ashley14 gestört - Entschuldigung.

27.07.2009, 22:53

ashley14

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RE: Normalverteilung Phi (5)

Zitat:

Original von Huggy
Wenn du die Stellenzahl deines Taschenechners ausnutzen willst, musst du, wie schon frank09 gesagt hat, bei positivem x erst $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) \end{eqnarray*}$ mit dem Rechner bestimmen und dann $\begin{eqnarray*} \Phi(x)=1-\Phi(-x) \end{eqnarray*}$ per Hand ausrechnen.

Dabei fällt dann auch auf, dass die Näherung von frank09 um ca. den Faktor 2 vom wahren Wert von $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) \end{eqnarray*}$ abweicht. Bessere Ergebnisse erzielst du mit der asymptotischen Entwicklung der Normalverteilung:

$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\frac{1}{x \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\left( 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{x^{2n}}\right )\quad x>0 \end{eqnarray*}$

Der entstehende Fehler ist kleiner als der Absolutwert des ersten vernachlässigten Terms und hat dasselbe Vorzeichen wie dieser. Selbst wenn man nur das erste Glied der Summe mitnimmt, ist der Fehler bei x = 5 schon deutlich unter 1 %.

Hallo!
ich kann eurem GEspräch zwar nicht in ganzer Fülle folgen (11.Klasse), doch denke das da auch ungefähr der Kern meines Problems liegt.
Ich kann in meinen Taschenrechner keine unbestimmten Summen eingeben. Verstehe ich Dich richtig und es reicht den ersten Summand der Summe, sprich den Teil für n=1 einzusetzen oder muss man dann noch einen "Schätzterm" ranhängen.

Vielen Dank für die ganzen Mühen
Liebe Grüße

27.07.2009, 23:01

frank09

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Sei die Länge der senkrechten Kathete des "gelben Dreiecks" $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , dann ist die waagerechte $\begin{eqnarray*} -\frac{f(x)}{m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=f'(x) \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} A=-\frac{f(x)^2}{2f'(x)} \end{eqnarray*}$
Für die Fehlerabschätzung kannst du benutzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}<\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_0\cdot x}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>x_0 \end{eqnarray*}$
Den rechten Teil kannst du bequem integrieren, wenn du $\begin{eqnarray*} \Phi(x_0) \end{eqnarray*}$ errechnen willst.

28.07.2009, 10:13

Huggy

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RE: Normalverteilung Phi (5)

Zitat:

Original von ashley14

Zitat:

Vielleicht hilft dir ein Beispiel zu verstehen, wie man mit dieser asymptotischen Entwicklung Näherungswerte für $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) \end{eqnarray*}$ bei größerem x berechnet. Es sei

$\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{x\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \Phi_n(x) \end{eqnarray*}$

die n-te Näherung mittels der asymptotischen Entwicklung. Dann hat man:

$\begin{eqnarray*} \phi_0(-x)=V(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_1(-x)=V(x)\left (1-\frac{1}{x^2}\right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_2(-x)=V(x)\left (1-\frac{1}{x^2}+\frac{3\cdot 1}{x^4}\right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_3(-x)=V(x)\left (1-\frac{1}{x^2}+\frac{3\cdot 1}{x^4}-\frac{5\cdot 3 \cdot 1}{x^6}\right ) \end{eqnarray*}$

Zahlenbeispiel
$\begin{eqnarray*} \Phi(-5)=2,86651571877013E-07 \end{eqnarray*}$ (aus Excel)
$\begin{eqnarray*} \Phi_0(-5)=2,97343902946860E-07 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Phi_1(-5)=2,85450146828985E-07 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Phi_2(-5)=2,86877397563130E-07 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Phi_3(-5)=2,86591947416301E-07 \end{eqnarray*}$

Allerdings kann man damit $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) \end{eqnarray*}$ nicht beliebig genau berechnen. Irgendwann werden die weiteren Terme der Summe wieder größer und damit die Näherung wieder schlechter. Die asymptotische Entwicklung ist halt keine konvergente Potenzreihe. Und deshalb sollte man sie, wenn man ganz korrekt ist, auch nicht als unendliche Reihe schreiben. Darauf hat Arthur hingewiesen.

Bei x = 5 wird die Näherung ab n =13 wieder schlechter. Für die meisten praktischen Zwecke sollte das mehr als ausreichend sein. Für kleine x ist die asymptotische Entwicklung völlig ungeeignet. Da nimmt man besser die normale Potenzreihenentwicklung der Normalverteilung.

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