Satz von Rolle

19.09.2006, 17:54

Jebediah

Satz von Rolle

Ich habe ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich n, das n+1 Nullstellen hat. Wieso sagt der Satz von Rolle das dann das Polynom identisch 0 ist??

19.09.2006, 18:08

xrt-Physik

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Ein Polynom vom Grad n hat eigentlich maximal n Nullstellen.

Und wenn das Polynom mehr Nullstellen hat als der Grad ist, dann
muss alles identisch 0 sein.

19.09.2006, 19:29

Dual Space

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Zitat:

Original von xrt-Physik
Ein Polynom vom Grad n hat eigentlich maximal n Nullstellen.

Und wenn das Polynom mehr Nullstellen hat als der Grad ist, dann
muss alles identisch 0 sein.

Das wird Jebediah schon klar gewesen sein, die Frage war doch vielmehr, wie man das mit Hilfe des Satzes von Rolle beweist.

19.09.2006, 19:29

irre.flexiv

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Sei f Polynom vom Grad n mit n+k Nullstellen. Dann muss f' folglich (nach Satz von Rolle) n+k-1 Nullstellen haben usw. Die n-te Ableitung hat dann k Nullstellen. Da aber $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ konstant ist muss $\begin{eqnarray*} f^{(n)} = 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Da die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ konstant ist und mindestens eine Nullstelle hat muss wieder $\begin{eqnarray*} f^{(n-1)}=0 \end{eqnarray*}$ gelten usw.

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