Approximation Fragen bzgl. XI vom Restglied Lagrage

05.07.2009, 10:12

Approximation Fragen bzgl. XI vom Restglied Lagrage

Huhu,

ich habe Fragen zum Restglied von Lagrage...

Und zwar geht es mir um diesen griechischen Buchstaben XI...

Also dieses XI gibt ja einen Bereich zwischen x und x0 an. Ich kann ja nun jeden Wert innerhalb dieses Intervalls hierfür einsetzen was natürlich blöd wäre....

Deshalb würde ich nach meiner Denkweise an der f(n+1) Ableitung mir das Maximum suchen und diesen x wert dann als XI verwenden und dann würde ich das halt ausrechnen

Problem dabei ist allerdings diese Begrifflichkeit und ob ich mit meiner Mutmaßung richtig liege. Hab schon etliche Bücher gewälzt aber nichts hat wirklich helfen können unglücklich

maximaler Fehler
minimaler Fehler
relativer Fehler
absoluter Fehler

Könnte mir bitte Jemand das für Dummys erklären am besten mit einer kurzen Erläuterung zur Vorgehensweise?

Theoretisch hätte ich durch das obige Vorgehen wohl den max Fehler bestimmt oder?

Ich danke euch

05.07.2009, 16:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst da ganz richtig. Das Restglied hat die Form

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\xi)(x - x_0)^{n+1}. \end{eqnarray*}$

Den Betrag dessen sollst du in einem gegebenen Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0 - r,x_0 + r] \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen. Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \left|\frac 1 {(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\xi)(x - x_0)^{n+1}\right| \le \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}\,\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|. \end{eqnarray*}$

Also musst du das Maximum der Funktion

$\begin{eqnarray*} \xi\mapsto \left| f^{(n+1)}(\xi)\right|\quad\text{auf }\,[x_0 - r,x_0 + r] \end{eqnarray*}$

finden, um eine gültige Abschätzung zu erhalten. Achte dabei auf den Betrag.

05.07.2009, 16:31

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm mal ganz langsam für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ such ich mir also das Maximum....

d.h. für eine Taylor Reihe 3. Grades setze ich $\begin{eqnarray*} f^4(x)=0 \end{eqnarray*}$ und entscheide über $\begin{eqnarray*} f^5(x) < 0 \end{eqnarray*}$ ob die Stelle ein Hochpunkt ist?

Sry für mich ist die Fehlerabschätzung hochkryptisch und wie sind diese Fehlerbegriffe zu verstehen?

05.07.2009, 17:35

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Xi
hmm mal ganz langsam für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ such ich mir also das Maximum....

Bitte setze Satzzeichen. Sonst werde ich dir nicht weiterhelfen!

Zitat:

Original von Xi
d.h. für eine Taylor Reihe 3. Grades setze ich $\begin{eqnarray*} f^4(x)=0 \end{eqnarray*}$ und entscheide über $\begin{eqnarray*} f^5(x) < 0 \end{eqnarray*}$ ob die Stelle ein Hochpunkt ist?

Nein. Erstens meinst du sicher $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} f^4. \end{eqnarray*}$ Dann schreib das bitte auch. Und zweitens berechnest du so das Maximum von $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ anstatt von $\begin{eqnarray*} |f^{(4)}|. \end{eqnarray*}$ Was meinst du, warum ich geschrieben hatte: "Achte dabei auf den Betrag." Ich habe keine Lust darauf, dass meine Beiträge nur überflogen werden, wenn ich hier helfe. Lies also bitte genauer.

05.07.2009, 18:25

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Nein. Erstens meinst du sicher $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} f^4. \end{eqnarray*}$ Dann schreib das bitte auch.

Ja habe ich gemeint, aber da ich bzgl. mathematischer Schreibweise nie getrimmt wurde ergab sich offentsichtlich eine Schreibschwäche. Normal zeige ich die Ableitung nur via Anzahl der Apostrophe an. Aufgrund der Übersicht bin ich davon aber abgewichen

Zitat:

Original von WebFritzi
Und zweitens berechnest du so das Maximum von $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ anstatt von $\begin{eqnarray*} |f^{(4)}|. \end{eqnarray*}$ Was meinst du, warum ich geschrieben hatte: "Achte dabei auf den Betrag." Ich habe keine Lust darauf, dass meine Beiträge nur überflogen werden, wenn ich hier helfe. Lies also bitte genauer.

ich hab das nicht überlesen....wohl eher nicht verstanden und deshalb wohl unwissentlich ignoriert und nichts dazu geschrieben.

Der Betrag schränkt das Extrema auf den ersten Quadranten ein? Zumindest stelle ich mir das gerade so vor

05.07.2009, 19:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist g eine Funktion, dann kann es passieren, dass das Minimum von g das Maximum von |g| ist.

Mal dir einfach mal ein paar Funktionen auf und auch ihre Beträge.

Übrigens reicht es nicht, sich nur lokale Extrema anzuschauen, sondern man muss auch die Ränder mit einbeziehen.

Oft ist nur eine grobe Abschätzung des Restgliedbetrages gefragt. Dafür brauchst du dann keine Kurvendiskussion, sondern kannst einfach abschätzen. Gib einfach mal ein Beispiel. Das können wir dann mal durchgehen.

05.07.2009, 21:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Gib einfach mal ein Beispiel. Das können wir dann mal durchgehen.

Danke für dein Angebot smile

Nehmen wir mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3*lnx \end{eqnarray*}$ mit x0 = 1, x = 1,2 und dem Grad 3

Dann hätte ich zunächst einmal die Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} P3 =\frac{11(x-1)^3}{6}+\frac{5(x-1)^2}{2}+x-1 \end{eqnarray*}$

und das Restglied wäre dann:

$\begin{eqnarray*} Rn(1.2)= \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} * (1.2-1)^4 \end{eqnarray*}$

Dann würde ich für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ 1 einsetzen da wenn ich das plotte er im betrachteten Intervall bei x0 = 1 den höchsten Wert annimmt....

Was aber wenn ich das ganze nicht plotten darf?

Ach ja zum Betrag an sich, der wirkt sich ja nur auf die y-Werte aus, sprich die können nicht mehr negativ werden, wodurch dann x^3 z.B. die Form einer Parabel annimmt

06.07.2009, 14:52

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableiten werde ich nicht fuer dich. Was ist denn die vierte Ableitung?

06.07.2009, 16:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ableiten werde ich nicht fuer dich. Was ist denn die vierte Ableitung?

Ich hab doch mit keiner Silbe erwähnt das du das sollst? oO

Aber um auf deine Frage zurückkommen:

$\begin{eqnarray*} f^{(4)}= \frac{6}{x} \end{eqnarray*}$

06.07.2009, 18:41

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist

$\begin{eqnarray*} |R_n(1.2)| = \left|\frac{1}{4\cdot 5^4}\cdot\frac 1 \xi\right| = \frac{1}{4\cdot 5^4}\cdot\frac 1 \xi. \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 1 < \xi < \frac 6 5 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac 5 6 < \frac 1 \xi < 1. \end{eqnarray*}$ Also ist

$\begin{eqnarray*} |R_n(1.2)| = \frac{1}{4\cdot 5^4}\cdot\frac 1 \xi \le \frac{1}{4\cdot 5^4}. \end{eqnarray*}$

Das nennt man "abschätzen".

06.07.2009, 19:14

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Also ist

$\begin{eqnarray*} |R_n(1.2)| = \left|\frac{1}{4\cdot 5^4}\cdot\frac 1 \xi\right| = \frac{1}{4\cdot 5^4}\cdot\frac 1 \xi. \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 1 < \xi < \frac 6 5 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac 5 6 < \frac 1 \xi < 1. \end{eqnarray*}$ Also ist

$\begin{eqnarray*} |R_n(1.2)| = \frac{1}{4\cdot 5^4}\cdot\frac 1 \xi \le \frac{1}{4\cdot 5^4}. \end{eqnarray*}$

Das nennt man "abschätzen".

Sry, ich kann nicht mal ansatzweise verstehen was du hier gemacht hast?

06.07.2009, 19:26

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eingesetzt und einmal abgeschätzt. Solltest du als Hochschüler nach einer Minute rechnen nachvollziehen können.

06.07.2009, 21:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ich habe eingesetzt und einmal abgeschätzt. Solltest du als Hochschüler nach einer Minute rechnen nachvollziehen können.

Wenn ich es nachvollziehen könnte, müsste ich wohl keine blöden Fragen stellen....

Wieso kappieren die Leute eigentlich nie das es einen zweiten Bildungsweg gibt, diesen man in einigen Bundesländern auch noch verkürzen kann und man sich offentsichtlich bei gewissen Dingen durchkämpfen muss....

Und ich seh dennoch nicht wie sich hier was verhält....

Formel sind immer ganz toll, damit versteht man das alles natürlich immer.....

07.07.2009, 01:13

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ob du aus dem zweiten Bildungsweg kommst oder nicht, ist mir wurscht. Tatsache ist, dass ich einfach in die vierte Ableitung eingesetzt habe (die du mir gegeben hast) und den Term zusammengefasst habe. Ich darf doch wohl noch voraussetzen, dass ein Hochschüler die Grundrechenarten beherrscht.

Deine restlichen Kommentare im letzten Beitrag sind unverständlich. Wahrscheinlich, weil du dich zu sehr aufgeregt hast. Es tut mir leid, dass das deutsche Bildungssystem so ist, wie es ist, und du Schwierigkeiten hast. Ich hasse es auch, wenn ich Dinge nicht sehe. Aber wie gesagt: rechnen solltest du schon können. Und deinen Frust lässt du bitte anders ab und nicht an mir. Sonst helfe ich dir nämlich ganz sicher nicht weiter.

Also, setze die vierte Ableitung von xi in deine Formel ein und rechne ein bisschen, bis du auf dasselbe kommst wie ich. Es handelt sich dabei um billigstes Bruchrechnen, welches man in der sechsten Klasse lernt. Tschuldigung, wenn ich das so sag, aber es ist so.

Neue Frage »

Antworten »

Approximation Fragen bzgl. XI vom Restglied Lagrage

Verwandte Themen