Dichte der Summe zweier gammaverteilter ZVen

05.07.2009, 16:01

sacrator

Dichte der Summe zweier gammaverteilter ZVen

Hallo,

ich hänge wieder an einer Aufgabe zur Gammaverteilung.
Gegeben sind zwei gammaverteilte Zufallsvariablen X und Y mit Parameter $\begin{eqnarray*} \nu_1 \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} \nu_2 \end{eqnarray*}$ und gleichem Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$
Gesucht ist die Dichte X+Y, die ja dann auch gammaverteilt sein müsste, wenn ich mich jetzt nicht täusche.

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Gammaverteilung:
$\begin{eqnarray*} f(x) =\begin {cases} \frac{1}{\Gamma(\nu)}~\alpha^{\nu}~x^{\nu-1}~exp(-\alpha x) & x > 0 \\ 0 & sonst \end {cases} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma(\nu) = \int_{0}^{\infty}~x^{\nu-1}~e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$
____________________________________________________________

Ich habe es bisher mit der Faltungsformel versucht, also:

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(z) = \int_{0}^{\infty}~f_{X}(u)*f_Y(z-u)~du \end{eqnarray*}$

Allerdings ende ich immer in unendlichen großen Integralen, die sich auch nicht wegkürzen lassen o.ä. Deshalb wollte ich mal fragen, ob der Ansatz überhaupt richtig ist.

Herauskommen sollte ja
$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(x) = \frac{1}{\Gamma(\nu_1+\nu_2)}~\alpha^{\nu_1+\nu_2}~x^{\nu_1+\nu_2-1}~e^{-\alpha x} \end{eqnarray*}$
oder?

Vielen Dank im Voraus!
Grüße

06.07.2009, 13:10

JPL

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Hi sacrator,

versuchs doch sonst mal über die charakteristische Funktion:
http://rosuda.org/lehre/WS0809/WTL8.1.pdf
Grüße,
JPL

06.07.2009, 13:30

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Zitat:

Original von sacrator
Ich habe es bisher mit der Faltungsformel versucht, also:

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(z) = \int_{0}^{\infty}~f_{X}(u)*f_Y(z-u)~du \end{eqnarray*}$

Allerdings ende ich immer in unendlichen großen Integralen, die sich auch nicht wegkürzen lassen o.ä.

Vermutlich fehlt dir die Orientierung:

Das Faltungsintegral führt mit einer naheliegenden linearen Substitution direkt auf eine Betafunktion. Und wie die mit der Gammafunktion zusammenhängt, wird im verlinkten Wikipediaartikel nicht nur beschrieben, sondern sogar bewiesen.

06.07.2009, 22:56

sacrator

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Danke für die Antworten!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das Faltungsintegral führt mit einer naheliegenden linearen Substitution direkt auf eine Betafunktion.

Nach einigem Rumprobieren muss ich aber gestehen, dass ich diese Substitution nicht wirklich finde. Im wesentlichen verstehe ich auch nicht, wie ich dadurch das Faltungsintegral $\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(z) \end{eqnarray*}$ , welches von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, auf ein Integral von 0 bis 1 bringen kann. Dies möchte man ja erreichen, oder?
Leider stehe ich auch hier auf dem Schlauch, ich hatte immer gedacht, das sei mit Substitution gar nicht möglich.

Grüße

06.07.2009, 23:02

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Zitat:

Original von sacrator
Nach einigem Rumprobieren muss ich aber gestehen, dass ich diese Substitution nicht wirklich finde.

Es ist die simple, lineare Substitution $\begin{eqnarray*} u=zw \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \dd u = z ~ \dd w \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sacrator
Im wesentlichen verstehe ich auch nicht, wie ich dadurch das Faltungsintegral $\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(z) \end{eqnarray*}$ , welches von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, auf ein Integral von 0 bis 1 bringen kann.

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} f_Y(z-u) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u>z \end{eqnarray*}$ , also kann man das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \cdots \dd u \end{eqnarray*}$ gleich auf $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^z \cdots \dd u \end{eqnarray*}$ reduzieren. Durch die genannte Substitution wird daraus $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \cdots \dd w \end{eqnarray*}$ .

Jetzt komm aber mal endlich aus der Hüfte!

07.07.2009, 00:11

sacrator

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Oje, so einfach kanns gehen... Der Weg ist wirklich simpel, man muss ihn nur erstmal finden Augenzwinkern

Herzlichen Dank!

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