Ableitung einer Funktion mit mehreren Faktoren

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05.07.2009, 18:06	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Funktion mit mehreren Faktoren Guten Tag miteinander, ich war schon früher hier (und im Nachbarforum PhysikBoard) und sende euch zuallererst einen Gruß! Mein Problem ist eigentlich ganz simpel. Mit der Zeit ergab sich bei mir eine Denklücke im Ableiten einer Funktion. Nehmen wir die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = 2ax \end{eqnarray}$ Da ich Aufgaben zu lösen habe, die ähnliche Kurvenscharen aufweisen, habe ich verschiedene Ansätze ausprobiert, jedoch bin ich immer wieder zu unzufriedenstellenden Lösungen (Berechnung von Ortskurven) gekommen. Tja, wie leitet man's ab? Ich hatte die Idee: $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x \end{eqnarray}$ doch warum könnte man nicht zugleich: $\begin{eqnarray} f'(x) = 2a \end{eqnarray}$ oder sogar: $\begin{eqnarray} f'(x) = ax \end{eqnarray*}$ schreiben, da Faktoren miteinander austauschbar sind? Muss das x dort bleiben? Denn bei einer quadratischen Funktion beispielsweise ist das x in der zweiten Ableitung ja auch weg. Danke und nochmals Grüße! 1nfiniti
05.07.2009, 18:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi erstmal Du leitest nach x ab! Wenn du nach a ableiten würdest, wäre dein erstes f'(x) richtig, nach x wäre dein zweites richtig. Und wenn es irgendeinen Sinn machen könnte nach 2 abzuleiten wäre dein 3. richtig (das würde aber wohl voraussetzen, dass 2 an sich Variabel ist, was eine konstante natürliche Zahl aber kaum gewährleisten kann).
05.07.2009, 19:33	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Grüß Dich, IfindU! Das bedeutet also, dass z.B. die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 - a^2 + a/2 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x - a^2 + a/2 \end{eqnarray}$ wäre, ohne also $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray*}$ abzuleiten?
05.07.2009, 19:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst alles nach x ableiten, also auch die beiden letzten Summanden.
05.07.2009, 21:28	McLane	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht musste dir so ein paar Merksätze für das Ableiten einprägen: 1. "Die Ableitung einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion." 2. "Die Ableitung einer Konstanten ist 0." Oder kurz um: Schau dir einfach nochmal die Rechenregeln an. Die werden meist auch immer mit so kleinen Merksätzen gespickt. Es mag zwar nach viel Auswendiglernen aussehen, doch ich fand immer, dass sich sowas lohnt!
06.07.2009, 14:40	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung gibt uns doch die Steigung einer Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ an. Dafür wäre $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in der Ableitungsfunktion doch gar nicht notwendig: $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 + a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x \end{eqnarray}$ Also alles, was kein x als Faktor hat, verschwindet praktisch, demzufolge: $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 + ax \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x + a \end{eqnarray}$ Wenn ich es geschafft habe, mich etwas wieder aufzufrischen, möchte ich noch kurz auf das Ableiten bei Brüchen vorgehen. Sagen wir es gibt die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2/a \end{eqnarray}$ Stünde ein x im Nenner, würde der Nenner der Ableitungsfunktion -x^2 heißen? $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2/x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -2x/-x^2 \end{eqnarray}$ Und wenn ein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ im Nenner steht, dann verschwindet dieser? $\begin{eqnarray} f'(x) = -2x \end{eqnarray}$ Ich merke gerade, dass ich einige Übungsaufgaben im Mathematikbuch notwendig habe lg
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06.07.2009, 16:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten beiden sind richtig, bei den anderen missachtest du einmal die Faktorregel nachdem $\begin{eqnarray} (k\cdot f(x))' = k\cdot f'(x) \end{eqnarray}$ und bei einem Quotienten brauchst du die Quotientenregel: $\begin{eqnarray} \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \end{eqnarray}$
06.07.2009, 16:44	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Also hieße es: $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2/a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -2xa + x^2/a^2 = -2x + x^2/a \end{eqnarray}$ ? Danke für die Quotietenregel. Solch eine hatten wir nicht einmal im Unterricht.
06.07.2009, 16:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
1/a ist hier eine Konstante $\begin{eqnarray} \frac{-x^2}{a} = \frac{-1}{a} \cdot x^2 = k \cdot x^2 \text{ mit k = -1/a} \end{eqnarray}$ Selbst wenn du sie hier anwendest (was vergleich mit Kanonschießen auf Spatzen ist) muss bei uv' = 0, da $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}a = 0 \end{eqnarray}$ ist.
06.07.2009, 17:12	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das so richtig? $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2/a = -1/a x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -2/a * x \end{eqnarray*}$ Hm, bezogen auf meine Übungsaufgabe kann das leider nicht hinkommen
06.07.2009, 17:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade, weil die Ableitung stimmt.
06.07.2009, 17:28	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schonmal erfreulich! Ich kann dir mal den ersten Part meiner Aufgabe geben, und wie ich sie gerechnet habe (Bestimmung der Ortskurve). Dazu erstmal Tiefpunkt folgender Funktion bestimmen: $\begin{eqnarray} f(x) = -x^3/a - ax = -1/a x^3 - ax \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -3/a * x^2 - a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = -3/a * x^2 - a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = -3/a * x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 = -3x^2 \end{eqnarray*}$ Da man nach a auflösen muss, ist Radizieren wegen dem Vorzeichen nicht mehr möglich. PS: Das a ist alleinstehend im Nenner, Sorry, bin in latex noch etwas unerfahren
06.07.2009, 17:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir mal ein paar Graphen der Schar zeichnen lassen und ich finde nicht einmal ein Extremum. Wenn du das nach x auflöst, siehst du auch dass nicht dort kein kein x-Wert existiert, damit die Ableitung 0 wäre.
06.07.2009, 17:46	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, jetzt habe ich es mir auch mal zeichnen lassen. Naja, selbst bei Änderung von a wird es zum Extremum kommen können. Gut, ich denke, jetzt habe ich das mit der Ableitung begriffen. Dankeschön!
06.07.2009, 18:26	knups	Auf diesen Beitrag antworten »
Also alles, was kein x als Faktor hat, verschwindet praktisch, demzufolge: $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 + ax \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x + a \end{eqnarray}$ Wenn ich es geschafft habe, mich etwas wieder aufzufrischen, möchte ich noch kurz auf das Ableiten bei Brüchen vorgehen. Zunge raus Sagen wir es gibt die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2/a \end{eqnarray}$ Stünde ein x im Nenner, würde der Nenner der Ableitungsfunktion -x^2 heißen? $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2/x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -2x/-x^2 \end{eqnarray}$ Und wenn ein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ im Nenner steht, dann verschwindet dieser? $\begin{eqnarray} f'(x) = -2x \end{eqnarray}$ Da geht einiges durcheinander. Es gibt 2 Regeln für den Umgang mit Konstanten: 1) konstante Faktoren bleiben erhalten 2) Die Ableitung von Konstanten (Summanden) ist null Das wurde zwar oben schon gesagt, will nur verdeutlichen Die 2.Funktion ist wenig sinnvoll. ´Man kann durch x kürzen. Die Quotientenregel paßt hier überhaupt nicht. eine Anm: wenn man nach a ableiten würde (was nicht sinnvoll ist), lautete die Ableitungsfunktiom f´(a) und nicht f´(x)
06.07.2009, 22:32	1nfiniti	Auf diesen Beitrag antworten »
Grüß Dich, knups! "Die Quotientenregel paßt hier überhaupt nicht." Meinst Du damit, dass diese bloß hier oder aber überhaupt keine Anwendung finden kann? PS: Danke für alle Infos! Die Aufgaben haben plötzlich geklappt
06.07.2009, 22:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich gilt: Man kann die Quotientenregel hier anwenden, wenn man will, es kommt das richtige dabei raus, es ist bloss umständlicher. Man kann auch bei x^2 die Produktregel anwenden, die Kettenregel dazu wenn man mag, bei richtiger Anwendung kommt bei jeder 2x als Ableitung raus.
09.07.2009, 11:40	knups	Auf diesen Beitrag antworten »
die Quot-R. ist natürlich sehr wichtig, nur hier nicht angebracht
09.07.2009, 23:23	Aradhir	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Anmerkung: Wenn du etwas ableiten willst, solltest du dich vielleicht mit allen Ableitungsregeln beschäftigen und dir diese mal anschauen. Ich denke in jedem Analysis Schulmathe-Buch oder in Formel-Sammlungen sind diese zu finden (sicher auch im Netz auf Wiki oder so).

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