Allgemeine Reduktionsformel

05.07.2009, 21:11	bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Reduktionsformel Sorry mein erstes mal mit Latex und ich ahb nicht auf die schnelle rausgefunden, wie ich die zweite Zeile nach links bekomme... Wie beweise ich: $\begin{eqnarray} \int_a^b\frac{dx}{(x²+ax+b)^k} = \frac{2x+a}{D(x²+ax+b)^{k-1}}\bigg\|_a^b + \frac{4k-6}{D}\int_a^b\frac{dx}{(x²+ax+b)^{k-1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D:=(k-1)(4b-a²)\not=0 \end{eqnarray}$ "Dies ergibt sich aus der direkt zu verifizierenden Identität" steht hier, aber ich kann mit dem Satz relativ wenig anfangen. Könnte mir jemand eventuell eine Beweisskizze geben und erklären, was es mit dem "Tipp" auf sich hat? Ich denke nicht, dass es besonders lang oder unendlich kompliziert ist. Eher stehe ich gerade mal wieder auf dem Schlauch und kapiere nicht, was zu tun ist Vielen Dank im vorraus! EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
06.07.2009, 09:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Reduktionsformel Das ist eine etwas längere Rechnung, die man nicht unbedingt sofort sieht. Mit $\begin{eqnarray} K := b - \frac{a^2}{4} \end{eqnarray}$ und D = (k - 1) * 4K gilt: $\begin{eqnarray} \int~\frac{dx}{(x^2+ax+b)^k} = \frac 1 K \cdot \int~\frac{K}{((x+ \frac a 2)^2 +K)^k}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac 1 K \cdot \left( \int~\frac{(x + \frac a 2)^2 + K}{((x+ \frac a 2)^2 +K)^k}~dx - \int~(x + \frac a 2) \cdot \frac{x + \frac a 2}{((x+ \frac a 2)^2 +K)^k}~dx \right) \end{eqnarray}$ Im linken Integral kann man kürzen, im rechten Integral partiell integrieren. Im übrigen habe ich mal die Integrationsgrenzen weggelassen, da du die Buchstaben a und b doppelt verwendet hast.
06.07.2009, 10:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Spezialfall $\begin{eqnarray} a=0,b=1 \end{eqnarray}$ , den man im Fall $\begin{eqnarray} 4b-a^2 > 0 \end{eqnarray}$ über die Substitution $\begin{eqnarray} z = \frac{2x+a}{\sqrt{4b-a^2}} \end{eqnarray}$ erreichen kann, verweise ich mal auf ähnliche Betrachtungen.
06.07.2009, 13:06	bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank schonmal! Die doppelt verwendeten Buchstaben sind natürlich ein Fehler Im Original sind die Integrationsgrenzen a und b, die Symbole in der Formel alpha und beta. Ich war blos zu faul, \alpha so oft zu tippen und dachte ich wär mal wieder superschlau und nehm einfach a und b. Natürlich ohne zwei mal hin zu sehen...
06.07.2009, 14:16	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss mich erneut entschuldigen, diesmal für den Doppelpost. Ich kann meine als Gast geschriebenen Beiträge jedoch nicht mehr editieren. Folglich habe ich mich um dies in Zukunft zu vermeiden erstmal registriert. Trotzdem kann ich es diesmal nicht vermeiden, erneut eine Antwort zu erstellen. @klarsoweit: An solche lustigen Umstellungen muss ich mich unbedingt gewöhnen, das ist zwar simpel aber total genial! Damit ist mir die Formel klar, aber ich würde doch gerne noch einmal nachhaken: Was hat das ganze mit dem ominösen "Tipp" zu tun? "Dies ergibt sich aus der direkt zu verifizierenden Identität", als ich nicht einmal den Sinn von diesem Satz verstanden habe, beschloss ich erst es nicht mehr komplett selber zu versuchen. Ist damit wirklich gemeint, dass es sich ( Identität umformuliert ) "aus der direkt zu verifizierenden bei jedem Parameterwert gleichen Umformung ergibt"? Ich hätte das nie so interpretiert, wobei es jetzt so klingt, als ob es so gemeint wäre.
06.07.2009, 14:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde den Satz so auffassen: Umgestellt bedeutet die nachzuweisende Identität $\begin{eqnarray} \frac{2x+a}{D(x^2+ax+b)^{k-1}}\bigg\|_a^b = \int_a^b \left(\frac{1}{(x^2+ax+b)^k} - \frac{4k-6}{D} \cdot \frac{1}{(x^2+ax+b)^{k-1}} \right) ~ \dd x \end{eqnarray}$ , was du auch direkt durch Differenziehen nachweisen könntest: $\begin{eqnarray} \left[ \frac{2x+a}{D(x^2+ax+b)^{k-1}} \right]' \stackrel{?}{=} \frac{1}{(x^2+ax+b)^k} - \frac{4k-6}{D} \cdot \frac{1}{(x^2+ax+b)^{k-1}} \end{eqnarray}$ , vielleicht auch gleich besser mit $\begin{eqnarray} D=(k-1)(4b-a^2) \end{eqnarray}$ multipliziert: $\begin{eqnarray} \left[ \frac{2x+a}{(x^2+ax+b)^{k-1}} \right]' \stackrel{?}{=} \frac{(k-1)(4b-a^2)}{(x^2+ax+b)^k} - \frac{4k-6}{(x^2+ax+b)^{k-1}} \end{eqnarray}$ .
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06.07.2009, 14:32	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also "Tipp" würde ich dazu auch nicht sagen. "Identität" sagt ja nur, daß der Term links vom Gleichheitszeichen identisch mit dem Term rechts vom Gleichheitszeichen ist. Manche Autoren verstehen es auch meisterhaft, ihre mathematischen Ausführungen mit Prosa zu verschlimmbessern.

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