Eigenwerte linearer Abbildungen

06.07.2009, 12:43

cy-ba

Eigenwerte linearer Abbildungen

Moin!

Stehe hier mal wieder vor einem Problem. Genauer fehlt mir jeglicher Ansatz...

Die folgenden Informationen ist über die lineare Abbildung L: V nach V bekannt:

$\begin{eqnarray*} L\left(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L\left(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Eigenwerte der linearen Abbildung L sowie die zugehörigen Eigenräume.

Wie fange ich denn da an???? Ich hab überhaupt keine Idee....

Für'n Tipp wäre ich Dankbar...

Kann ich sowas machen wie: $\begin{eqnarray*} L(x) = \begin{vmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = \lambda \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \Rightarrow \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

06.07.2009, 13:04

klarsoweit

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RE: Eigenwerte linearer Abbildungen
Im Prinzip ja, wenn du statt x die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreibst und statt senkrechten Strichen (die für Determinante stehen) runde Klammern nimmst.

Das geht natürlich nur in diesem Fall, wo glücklicherweise die Bilder ein Vielfaches ihrer Urbilder sind.

06.07.2009, 13:10

cy-ba

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RE: Eigenwerte linearer Abbildungen

Zitat:

Original von klarsoweit
Im Prinzip ja, wenn du statt x die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreibst und statt senkrechten Strichen (die für Determinante stehen) runde Klammern nimmst.

Oh!

Zitat:

Das geht natürlich nur in diesem Fall, wo glücklicherweise die Bilder ein Vielfaches ihrer Urbilder sind.

Na dann wären meine Eigenwerte folglich -2 und 0 ???

06.07.2009, 13:48

klarsoweit

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RE: Eigenwerte linearer Abbildungen
Ja. Freude

06.07.2009, 15:08

WebFritzi

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Vielleicht gibt es noch einen... Das haengt davon ab, was V ist, was du nicht angegeben hast. Aber da wir ja natuerlich alle Hellseher sind, wissen wir, dass V der Vektorraum aller reellen oberen (2x2)-Dreiecksmatrizen ist. unglücklich

08.07.2009, 15:13

nils2131231232

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Hi,
sitze grad an der gleichen Aufgabe nur komme ich nicht weiter.
Ich habe die Eigenwerte berechnet (war nicht besonders schwer) nur wie komme ich zum Eigenraum? Ich brauche doch für die Berechnung des Eigenraums die Matrix A um anschließend den Eigenraum zu berechnen, aber wie komm ich auf die Matrix?

08.07.2009, 15:22

klarsoweit

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Die Eigenräume ergeben sich direkt aus der Aufgabe. Da muß man gar nichts rechnen.

08.07.2009, 15:58

nils2131231232

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RE: Eigenwerte linearer Abbildungen
okay stehe grad voll auf dem schlauch...ich hab die eigenwerte und was sind dann die eigenräume? wir hatten in der vorlesung immer die formel mit dem Kern (sicherlich bekannt) aber dafür brauche ich ja die matrix die ich aber nicht kenne. wie erkenne ich den aus den eigenwerten direkt die eigenräume?

10.07.2009, 14:57

WebFritzi

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Gar nicht. Aber du hast hier nicht nur die Eigenwerte gegeben, sondern auch die Eigenvektoren. Der Eigenraum zu einem Eigenwert ist definiert als der Span (lineare Hülle) der Eigenvektoren.

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