Grafensteigung

19.09.2006, 18:37

hilfeeee

Limes/Ableitung/Grafensteigung

Ich war während den letzten drei wochen im Spital und habe in dieser Zeit den Mathematikunterricht verpasst. Am Freitag haben wir eine Prüfung, die ich allerdings schrieben sollte. Ich bin eigentlich gut in Mathe, sollte also das rel. schnell checken. Wäre euch sehr dankbar wenn ihr versuchen würded mir zu erklären wie man die drei im Titel genannten Themen löst. Zu jedem ein Beispiel aus dem Buch:

Ableitung einer Funktion:

A)
Berechne den Differentialquotienten der geg. Funktion f:x->y an der Stelle x=1:

y=1/(x+1)

B)
An welcher Stelle hat der Graf die Steigung m=1?

f:y=(x^3)-(x^2)

C)
Wie heisst die Gleichung der Tangente im Punkt P(1/yp)an den Grafen der Funktion f:x->y?
y=(4x^7)-(16x^4)+7x

Bitte helft mir hier wie einem Anfänger mit allen Zwischenschritten, da ich wie gesagt bis am freitag die drei Unterkapitel verstehen muss.

Danke viel Mal und liebe Grüsse
S.

19.09.2006, 18:46

Frooke

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Hallo! Gib doch mal an, was Du schon weisst und was nicht. Ansonsten wissen wir auch nicht wo und wie mit Erklären beginnen. Zeige Deine Ansätze und wo Du stecken bleibst. => Ausserdem heisst der Graf in diesem Kontext Graph smile

19.09.2006, 18:54

hilfeee

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A) Da denke ich dass das Ergebnis 1/2, also 0.5 ist, weil ich einfach 1 für x einsetze, aber wie gesagt, ich war nicht dabei als in der Schule die Theorie dazu besprochen wurde

B) Da hab ich überhaupt garkeine Ahnug, ich weiss nicht wie sich aus dieser Funktion eine Steigung berechnen lässt.

C) Ist noch komplexer.

naja, ich werde morgen meine Lehrerin fragen, ob sie sich in der Mittagspause etwas Zeit nehmen kann um mir dies zu erklären, aber ich habe mir gedacht, ev. könnte ich auch hier über s Internet etwas lernen (den Teil der Prüefung mit dem lim x -> 0 (oder unendlich) hab ich mir selber erarbeitet, den verstehe ich auch schon)

19.09.2006, 19:06

Frooke

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Bei a musst Du die Ableitung berechnen und dann erst einsetzen...

Bei b: Die Ableitung gibt die Steigung an, also berechne die Ableitung und ermittle das x, andem sie 2 ergibt.

Zu c, kennst Du denn die Tangentenformel? Der Punkt ist ja P(x|f(x)). Dann brauchst Du zuerst die Steigung in P. Kommst Du soweit?

19.09.2006, 19:21

hilfeee

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Tönt jetzt warscheinlich etwas blöd... aber wie gesagt, ich habe die ganze Theorie nicht mitbekommen: Ich weiss nichtmal wie man ableitet.

20.09.2006, 08:12

klarsoweit

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RE: Limes/Ableitung/Grafensteigung

Zitat:

Original von hilfeeee
Bitte helft mir hier wie einem Anfänger mit allen Zwischenschritten, da ich wie gesagt bis am freitag die drei Unterkapitel verstehen muss.

Na, da haben wir ja noch 2 Tage Zeit. Augenzwinkern

Also etwas solltest du auch dazu in deinem Schulbuch finden. Und vielleicht gibt es jemanden, der das ganze gut verstanden hat und es dir erklären kann. Das wäre im Zweifelsfall effektiver als in der kurzen Zeit hier im Board. Aber ich versuche es trotzdem mal:

Der Differenzenquotient oder Differentialquotient:
Der Term $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ heißt Differenzenquotient und gibt die Steigung der Geraden (Sekanten)
zwischen den Punkten (x0 | f(x0) und (x0 + h | f(x0+h)) an.

Zur Ableitung:
Sei f auf einer Umgebung von x0 definiert. Die Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0 genau dann, wenn der Grenzwert für h gegen Null von dem Differenzenquotienten existiert. In Formel:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe A setze mal die Funktion f(x) = 1/(x+1) und x0 = 1 ein.

20.09.2006, 12:08

Frooke

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Sorry, musste gestern weg, aber hier findest Du ansonsten noch die wichtigsten Ableitungsregeln mit Beweis. Und noch ein Hinweis zur Aufgabe mit der Tangenten:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ deren Ableitungsfunktion. P ist ein Punkt - $\begin{eqnarray*} P(x_0|f(x_0)) \end{eqnarray*}$ - und T(x) die Tangente durch P an f.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} T(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$

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