Cauchysches Konvergenzkriterium und Untersuchung auf Konvergenz

06.07.2009, 12:16

Maithai

Cauchysches Konvergenzkriterium und Untersuchung auf Konvergenz

Hallo,

Ich habe drei Probleme zum Thema Folgen.

Zum einen verstehe ich das Cauchysche Konvergenzkriterium nicht wirklich. Ich bin eigentlich nicht dumm oder so, aber irgendwie steh ich da auf dem schlauch>.<

" Eine Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann konvergent, wenn es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle n, m $\begin{eqnarray*} \geq ~N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|~a_n~-~a_m~\right|~<~\varepsilon \end{eqnarray*}$

Oder anders formuliert:

$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon~>~0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|~a_n~-~a_m~\right|~<~\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle n, m $\begin{eqnarray*} \geq ~N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe bereits im Internet und in diversen Büchern gesucht, entweder habe ich nichts zu diesem Thema gefunden oder es war so umständlich erklärt, dass ich es noch weniger verstanden habe.

Mein zweites Problem ist eine Aufgabe zum Thema Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n~+~2\cdot~\sqrt {n}}{3n~-~2~\cdot~\sqrt {n}}= \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe liegt mein Problem an den $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe gelernt, dass ich hier mit der höchsten Potenz von n kürze . Hier also nur n.

in meinem Heft steht im Lösungsweg dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Warum? Ich weiß auch nicht ich versuche es krampfhaft zu verstehn, aber irgendwie gelingt es mir einfach nicht.

Als ob das noch nicht genug wäre traurig

habe ich da noch eine Aufgabe.

"Untersuchen Sie die Folge mit dem allgemeinen Glied

$\begin{eqnarray*} a_n~=~\sin n\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ mit n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$

auf Konvergenz"

Ich ahbe die Lösung dieser Aufgabe aber die bringt mir grade nicht viel. Warum muss ich hier um die Folgeglieder auszurechnen den Taschenrechner auf Rad umstellen? Was hat es damit auf sich?

Ich weiß es ist viel, aber vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen und das ganze verständlich erklären, weil es weder mein "Lehrer" noch mein Regal an Büchern konnte.

Dankeschon mal im Vorraus

Liebe Grüße

Maithai

06.07.2009, 12:46

WebFritzi

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RE: Cauchysches Konvergenzkriterium und Untersuchung auf Konvergenz

Zitat:

Original von Maithai
"Untersuchen Sie die Folge mit dem allgemeinen Glied

$\begin{eqnarray*} a_n~=~\sin n\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ mit n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$

auf Konvergenz"

Das hoert sich ja fast schon sexistisch an. Big Laugh

Zitat:

Original von Maithai
Warum muss ich hier um die Folgeglieder auszurechnen den Taschenrechner auf Rad umstellen? Was hat es damit auf sich?

Das ist das Bogenmass. pi entspricht 180 Grad. Also entspricht z.B. pi/2 gerade 90 Grad, und 2*pi entspricht 360 Grad. Und nun ueberleg dir mal, was $\begin{eqnarray*} \sin\left(n\frac{\pi} 2\right) \end{eqnarray*}$ ist fuer natuerliche Zahlen n.

06.07.2009, 12:59

Maithai

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Hallo,

Ja wenn ich das ausrechne finde ich 3 häufungspunkte für die Folge -1, 0, 1...

aber was das bedeutet, jetzt abgesehen davon, dass die Folge divergiert. Aber was genau es damit auf sich hat versteh ich trotzdem nicht :/

Hammer

vielleicht bin ich doch dümmer als ich dachte -.- traurig

Lieben Gruß
Maithai

06.07.2009, 13:08

Bakatan

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Es bedeutet, mit Worten formuliert, dass ab einem gewissen Folgenglied nie mehr als Epsilon für den Abstand zwischen zwei Folgengliedern heraus kommt.
Betrachten wir zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} a_1=1;a_2=\frac{1}{2}; a_3=\frac{1}{3}; a_4=\frac{1}{4}; ... \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} (a_n)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ welches eine Nullfolge ist und folglich auch das Cauchy Kriterium erfüllt.
Ich darf Epsilon frei wählen. Nehmen wir einmal 3. Hier gilt offensichtlich für alle N, dass $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<\epsilon~\forall n,m>N \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (a_n)>0 \end{eqnarray*}$ stets, monoton fallend und somit $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<1-0<3=\epsilon \end{eqnarray*}$ . Dies ist einfach der maximale Abstand, den es je erreichen kann.

Nehmen wir nun jedoch ein anderes Epsilon, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ , so müssen wir ebenfalls ein N finden können. Unsere Beispielfolge hat hier den Vorteil, dass sie monoton fallend ist. Zum Verständnis sollte es aber genügen. Es soll nun also $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|<\epsilon~\forall n,m>N \end{eqnarray*}$ sein.
Nehmen wir ( was das kleinste N ist für welches es gilt ist nochmal eine andere Frage ) $\begin{eqnarray*} N=3,~a_n=\frac{1}{3}<\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ .
Kann hier $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|>\epsilon=\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ passieren?
Es ist immernoch $\begin{eqnarray*} (a_n)>0 \end{eqnarray*}$ und da die Folge monoton fällt $\begin{eqnarray*} (a_n)<\frac{1}{N}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
Denk dir das nun mal auf dem Zahlenstrahl. Für alle Glieder nach dem N-ten Glied liegen sie alle zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
Folglich kann der Abstand von zwei Folgengliedern nach dem N-ten gar nicht grösser als Epsilon sein.

Das Cauchy Kriterium sagt das egal welches Epsilon man wählt, es immer ein N gibt ab welchem die Glieder näher als Epsilon beieinander liegen, egal welche zwei man nimmt. Zumindest wenn die Folge konvergent ist.

Da ich gerade meinen Kopf voller Integrale habe, kann ich dir zZ leider über den Grenzwert der Folge die du ansprichst nicht viel sagen.
Wieso du deinen Taschenrechner auf rad umstellen musst ist jedoch wichtig:
Es gibt zwei verschiedene Methoden, Winkel anzugeben. RAD ist dabei eigentlich die bessere, DEG (von "degree" = grad ) wird nur häufig benutzt, weil sie für manche Fälle einfacher ist, und man keine Ahnung von Pi und dem Einheitskreis haben muss. bei RAD gibst du den Winkel "als" ( es IST eigentlich der Winkel ) Bogenlänge auf dem Einheitskreis an. DEG ist einfach "einmal rum ist 360°". Das sind unterschiedliche Einheiten! auf dem Einheitskreis ist pi bereits ein Halbkreis, also 180° ( umfang = 2*r*pi beim Einheitskreis r=1 also 2pi ). 3,1415626... ist aber bei weitem nicht 180. Da du wenn du im Taschenrechner tippst nicht explizit 180° schreibst sondern nur 180, muss der Taschenrechner wissen, was du denn nun meinst.

06.07.2009, 13:26

Maithai

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Hallo,

Danke für diese Erklärung... was ich an dem ganzen noch nicht so ganz verstehe ist was es mit diesem N auf sich hat. Was ist das? Ist das der Wert der in der Folge für ein bestimmtes n bzw m rauskommt oder wie? den Rest kann ich glaub ich soweit zuordnen.

Zu dem Grenzwert-ding... es geht ja nicht direkt um den Grenzwert sondern einfach nur wie man von $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ kommt. Irgendwie ergibt das in meinem Kopf keinen Sinn, und desto mehr ich drüber nachdenke und auf meinem Block hier vor mich hin versuche desto verwirrter bin ich...

Zu dem Bogenmaß... Ich glaub ich hab das jetzt soweit verstanden. Aer nur um noch ma sicher zu gehen: Wenn da was mit sin o.ä. ist also es im Endeffekt um Winkel geht ist es besser im Bogenmaß zu rechnen? Aber wenn das so ist warum gibt es dann überhaupt die °-Methode... also ich mein dann müsste doch alles was damit zu tun hat im ogenmaß gerechnet werden. Wir haben das in der Schule nie gemacht und jetzt mach ich mein Abi per Fernstudium und versuche das irgendwie hinzubiegen, was bis jetzt prima funktioniert hat, aber dieses Heft raubt mir einfach den letzten Nerv.

Was WebFritzi meint was das für ne Bedeutung hat verstehe ich immernoch nicht, bzw. weiß ich nicht einmal wo ich da mit dem Nachdenken ansetzen sollte.
Ich danke euch echt für eure Geduld, aber ich möchte das echt verstehen und nicht einfach richtig haben und gut ist.

Hilfe

06.07.2009, 13:39

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Zitat:

Original von Maithai
in meinem Heft steht im Lösungsweg dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Warum? Ich weiß auch nicht ich versuche es krampfhaft zu verstehn, aber irgendwie gelingt es mir einfach nicht.

Es ist $\begin{eqnarray*} n = \sqrt{n}\cdot \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ , das sollte doch soweit klar sein oder? Und das setzt du einfach im Nenner ein und kürzt dann anschließend einmal $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

06.07.2009, 14:05

Maithai

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OMG
Ich habe in ALLE Richtungen gedacht nur nicht in diese-.-
Ich glaub ich habe wirklich das Denken verlernt >.< sorry, oder denke mal wieder viel zu kompliziert für diese Welt.

und n RIESEN GROßES DANKE! *kopf->Tisch*

06.07.2009, 14:25

system-agent

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Zitat:

Original von Maithai
Danke für diese Erklärung... was ich an dem ganzen noch nicht so ganz verstehe ist was es mit diesem N auf sich hat. Was ist das? Ist das der Wert der in der Folge für ein bestimmtes n bzw m rauskommt oder wie? den Rest kann ich glaub ich soweit zuordnen.

Du meinst das $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ . Nochmals was das Cauchy-Kriterium in Worten bedeutet:
Für jede noch so kleine positive Zahl $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt es einen Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ so, dass für alle grösseren Indizes $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ immer
$\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt, das heisst also für alle nachfolgenden Indizes ist der Abstand der Folgenglieder niemals mehr als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Nun ist es auch intuitiv klar, dass man für verschiedene $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auch verschiedene "Minimalindizes" $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ brauchst so dass alle Folgenglieder mit grösseren Indizes höchstens $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ voneinander entfernt sind.
Und diese Abhängigkeit des Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von der Vorgabe von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ schreibt man gerne als $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ .

06.07.2009, 15:04

Maithai

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Ja, aaaaaaaber... WAS ist dieser Index N ? Ich weiß auch nicht was heute los ist- aber irgendwie verstehe ich es einfach nicht. ich mein das $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ kann ich mittlerweile zuordnen (glaub ich) aber das N Tränen

Ich mein in dem Beitrag von Bakatan. Wenn er $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ = 3/7 nimmt woher krieg ich das N raus zw in welchem Zusammenhang steht es mit dem Rest?

Ich weiß ich bin anstrengend aber irgendwie steh ich da wirklich auf dem Schlauch

06.07.2009, 22:38

Bakatan

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Grundsätzlich ist eine Folge eine Zuweisung von 1,2,3,4,...,n auf die Folgeglieder $\begin{eqnarray*} a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~...,~a_n \end{eqnarray*}$
Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<\epsilon \end{eqnarray*}$ solange ich nur Folgenglieder oberhalb von $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ betrachte.
Das Cauchy Kriterium sagt: Wenn die Folge konvergent ist, muss dieses $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ existieren. Wenns nicht existiert macht die obige Aussage reichlich wenig Sinn.
Wie man auf dieses $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ kommt ist eine andere Sache.
Es gibt aber eins, falls die Folge konvergent ist. Das besagt der Satz.
ich hab dann also irgendwelche $\begin{eqnarray*} a_1~a_2~a_3~...~a_n \end{eqnarray*}$ und egal welche zwei ich aus $\begin{eqnarray*} a_{N(\epsilon)+1}~a_{N(\epsilon)+2}~a_{N(\epsilon)+3}~...~a_n \end{eqnarray*}$ nehme, es muss gelten: $\begin{eqnarray*} |a_{erstes~gewaehltes}-a_{zweites~gewaehltes}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn du dir meinen vorherigen Beitrag ansiehst, wirst du feststellen, dass ich lediglich ( da der Beispielsfall wegen der monotonie extrem simpel ist ) ein N gesucht habe, nach dem alle Folgenglieder kleiner sind als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Da die Folgenglieder stets >0 sind müssen sie sich alle zwischen besagten Werten aufhalten. Das zwei beliebig gewählte von jenen nun einen Abstand haben, welcher kleiner ist als Epsilon ist klar. Man könnte dies beweisen, es ist aber ziemlich offensichtlich. Statt N=3 hätte ich auch N=2622834 nehmen können. Alle Folgenglieder nach diesem N erfüllen die Bedingung ebenfalls. Es heißt ja auch "alle n,m > N" also wenn ich ein N gefunden habe, erfüllen alle m,n > M > N natürlich ebenfalls, dass $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Wenn du $\begin{eqnarray*} min\{x\big|~|a_n-a_m|<\epsilon~\forall n,m>x\} \end{eqnarray*}$ finden willst musst du eine Menge rechnen. Welches nun genau das kleinste wählbare N für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist spielt aber keine besondere Rolle. Wichtig ist nur, dass es überhaupt eins gibt, und zwar für jedes denkbare $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

07.07.2009, 09:35

Maithai

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Jetzt hab ichs verstanden -.- und wieder einmal stelle ich fest:

Ich hab einfach wieder zu viel um die Ecke gedacht....

Ich danke euch für eure Mühen mit mir *freu*

Wink

Lieben Gruß
Maithai

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