Dgl. 2.Ordung/Koeffizientenvergleich |
| 06.07.2009, 17:09 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dgl. 2.Ordung/Koeffizientenvergleich folgendes Problem: Ich habe die Dgl. y´´ + 9y = 4sin(3x) Das charakteristische Polynom ist dann z^2 + 9 = 0 Nst.: 3j und - 3j ( oder?) Als homogene Lsg. hab ich dann A1 cos(3x) + A2 sin(3x) Die hom. Lsg. ist mir klar....aber bei der partikulären Lösung bin ich mir nicht sicher!! Aus 4sin(3x) = e^{cx} ( Pn(x)cos(bx) + Qn(x)sin(x) ) folgt c=0, b=3, Pn(x)=0, Qn(x)=4 und damit n=0 Richtig? Aus c+bj=3j folgt r=1, da 3j einfache Nst. vom charakteristischem Polynom ist, oder??? Also wäre die part. Lsg. dann, Yp= x(Bcos(3x) + C(sin3x)) 1.Ableitung Yp´= - Bx sin(3x) + Cx cos(3x) + B cos(3x) + C sin(3x) 2.Ableitung Yp´´= - Bxcos(3x) - Cx sin(3x) - 2B sin(3x) + 2C cos(3x) Richtig??? Aber wenn ich das einsetze in die Dgl. bekomme ich : x ( 8B cos(3x) + 8C sin(3x) ) + 2b sin(3x) +2C cos(3x) = 4sin(3x) Und jetzt? Also die allgemeine Lösung der Dgl. lautet: ( -2x/3 ) cos(3x) + A1 cos(3x) + A2 sin(3x) Aber wie ich dahin kommen soll versteh ich nicht....sieht vielleicht jemand einen Fehler den ich gemacht habe!!! Ich bin für jede Hilfe dankbar!! Lg Vexx Achja und wie funtioniert egtl. dieser Formeleditor richtig? Wieso kann ich keine index zahlen schreiben oder wieso gibt es nur den sinus und nicht den cosinus zum schreiben??? Hoffe ihr könnt trotzdem alles lesen.... |
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| 06.07.2009, 17:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist falsch - denk an die Kettenregel für die innere Funktion 3x. |
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| 06.07.2009, 17:40 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohh ich bin so doof..... 
Jetzt gehts auf!! Danke danke!! Kann ich noch eine Aufgabe reinstellen in der ich nicht weiter komme? Ist bestimmt auch nur so ein kleiner Fehler den ich nicht finde!! |
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| 06.07.2009, 18:01 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich stell einfach mal die Aufgabe rein: Es geht um die Dgl.: y´´ - 3y´+2y = e^{2x} Also hom. Lsg hab ich richtig!!! Aber wie immer die partikuläre Lösung: Also aus e^{2x} = e^{cx} ( Pn(x) cos(bx) + Qn(x) sin(bx) ) folgt c=2, b=0, Pn(x) = 1, Qn(x) = 0 und damit n=0 Aus c+bj=2 folgt r=1, da 2 einfache Nstl. vom char. Poly. Richtig? ALso: Yp = Bx e^{2x} Yp´= 2Bx e^{2x} + B e^{2x} Yp´´ =4Bx e^{2x} + 4B e^{2x} Wenn ich das in die Dgl. einsetze kommt e^{2x} = e^{2x} raus!!! Da ist doch dann was schief gelaufen, oder? Lg Vexx |
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| 06.07.2009, 19:53 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, ich würd mal sagen, dir ist das abhanden gekommen - dann such es mal!
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| 06.07.2009, 20:18 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kommt es dir denn nicht abhanden?? Ich hab jetzt schon 20 mal abgelitten....find aber kein fehler!! |
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| 06.07.2009, 20:19 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also bitte, das ist ja wie im Kindergarten. Hier ist es noch da:
Nach dem Einsetzen in die DGL muss es auf der linken Seite also auch noch da sein!!! 
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| 06.07.2009, 20:49 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ohhh ja alles klar!!! B=1; Aber in der Lösung steht als part. Lsg.: (x - 1) e^2x Ich hab doch sonst alles richtig gemacht oder nicht? |
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| 06.07.2009, 21:06 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Partielle Lösungen sind nicht eindeutig - wichtig ist nur, dass die Differenz zwischen verschiedenen partiellen Lösungen eine Lösung der homogenen Gleichung ist, und das ist hier ja der Fall. Also kein Grund sich Sorgen zu machen. Oder geht es hier um eine AWA - das wäre natürlich was anderes. |
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| 06.07.2009, 21:17 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein um eine Anfangswertaufgabe geht es nicht, die mach ich erst morgen
Also du meinst, weil xe^2x - (x -1) e^2x = e^2x ist, ist meine Lösung auch richtig? Aber wieso ist denn e^2x eine Lösung der hom. Gleichung?? Was ist denn die hom. Gleichung? |
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| 06.07.2009, 21:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soso, du weißt also nicht was eine homogene Lösung ist?
Erwischt! |
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| 06.07.2009, 21:49 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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Ja die hom. Lsg. ist A1 e^2x + A2 e^2x Aber wie komm ich jez auf e^2x??? weil das vor den Koeffizienten steht? Nein oder? |
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| 06.07.2009, 21:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also irgendwie hast du dieses grundlegende Konzept zur Lösung linearer DGL (allgemeine Lösung der homogenem DGL + irgendeine Lsg der inhomogenen DGL) nicht richtig verstanden - führe dir das nochmal zu Gemüte. Dann stellen sich nämlich deine Nachfragen als sinnlos heraus. |
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| 06.07.2009, 22:26 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja mit so einer Antwort hatte ich fast schon gerechnet....
also eigtl. weiss ich nur das sich die allgemeine Lsg. der Dgl. aus der hom. Lsg. und der part. Lsg. zusammensetzt!!! Und ich weiss wie ich diese beiden Lsg. bekomme.... Viel mehr steht leider auch nicht in meinem Script!!! Also das die part. Lsg. nicht immer eindeutig ist, ist mir zb. neu... Aber ich gucks mir morgen einfach nochmal und nochmal an... Aber auf jedenfall danke für deine Hilfe und deine unendliche Geduld!!! |
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| 07.07.2009, 02:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, dann nochmal für dich: Es gibt nicht die allgemeine Lösung. Die DGL habe die Ordnung n. Jede Lösung der inhomogenen DGL kann man dann wie folgt darstellen: Die Funktionen bilden dabei eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung, und ist irgendeine Lösung der inhomogenen DGL (eine sogenannte partikuläre Lösung). Eine partikuläre Lösung ist eine Lösung unter vielen, d.h. unter allen. Sie hat keine besondere Bedeutung - außer, dass du zum Lösen der inhomogenen DGL eine solche brauchst. Das heißt: Kennst du alle homogenen Lösungen und nur eine einzige der inhomogenen DGL (also eine partikuläre), dann kennst du mit der obigen Formel alle Lösungen der inhomogenen DGL. Der homogene Lösungsraum ist ein n-dimensionaler Vektorraum. Sowas kann man sich als Unterraum des IR³ vorstellen. Beachte das Wort "vorstellen". Der Vektorraum ist ein Raum mit Funktionen als Vektoren - also alles andere als ein Unterraum des IR³. Es geht hier um die Vorstellung. Der Lösungsraum der inhomogenen Gleichung ist nun nichts anderes als der um das Element verschobene homogene Lösungsraum. So etwas nennt man einen affinen Vektorraum. Ebenen im IR³ sind dafür ein Beispiel. Die Lösung entspricht dabei dem Ortsvektor und die entsprechen den Richtungsvektoren. Ich denke, dir ist klar, dass du jeden beliebigen Vektor der Ebene als Ortsvektor wählen kannst. Genauso ist es hier. Du kannst jede Lösung der inhomogenen DGL als wählen. |
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| 07.07.2009, 19:43 | Vexx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah ja alles klar!!! Danke!! Also gibt es viele part. Lsg.!! Und wenn die Differenz zwischen den part. Lsg., jetzt in meinem Fall e^2x, ergibt, ist das auch richtig, weil auf der rechten Seite der Dgl. e^2x steht. Und e^2x ist Lsg. der homogenen Gleichung!!! Soweit richtig? |
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| 10.07.2009, 14:39 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur halb. 
Das hier:
ist falsch. Die Differenz zweier partikulärer Lösungen (also die von zwei Lösungen der inhomogenen DGL) ist immer eine Lösung der homogenen DGL und hat mit der rechten Seite der (inhomogenen) DGL nichts zu tun!!! Dass also rauskommt, ist kein Wunder, weil das eine Lösung der homogenen DGL ist. |
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