Doppelsumme lösen

07.07.2009, 11:09

liberalstone

Doppelsumme lösen

Wie löst man eine Doppelsumme, wie z. B. in der folgenden Aufgabe???
Berechnen Sie für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ den Wert der Doppelsumme

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n~ \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j+k} } \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schon mal für jede Hilfe!

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

07.07.2009, 11:15

klarsoweit

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RE: Doppelsumme lösen
Normalerweise betrachtet man die Summen von innen nach außen. Allerdings gibt es bei deiner Summe das Problem, daß k < j sein kann, so daß du erstmal sagen mußt, wie bei dir der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom k j \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.

07.07.2009, 11:35

liberalstone

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RE: Doppelsumme lösen
Leider ist ein solches in der gegebenen Aufgabenstellung nicht definiert, aber danke für den Tipp.
Wie gehe ich genau vor, wenn ich, von innen ab starte?
Setze ich erst k=0 bis n ein, dann sieht das folgendermaßen aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j+0}} + \begin{pmatrix} 1 \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j+1}} + \begin{pmatrix} 2 \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j+2}} + \left(...\right) + \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j+n}} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich dann noch das j von 0 bis n setze

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \frac{1}{2^{0+0}} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{2^{1+1}} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \frac{1}{2^{2+2}} + \left(...\right) + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \frac{1}{2^{n+n}} \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das falsch?
Und gibt es da nicht Probleme, wenn die Grenzen nicht „gleich weit“ sind. Hier wird ja jeweils von 0 bis n summiert..

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

07.07.2009, 11:41

klarsoweit

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RE: Doppelsumme lösen

Zitat:

Original von liberalstone
Oder sehe ich das falsch?

Ja. Du mußt in jedem Summanden der aufgedröselten ersten Summe den Laufindex j von 0 bis n laufen lassen und die Ergebnisse summieren. Es wird aber keinen Sinn machen, die Summen derartig aufzudröseln. Deshalb meine Frage, wie der Binomialkoeffizient definiert ist. Oder anders gefragt: ist die Aufgabe korrekt abgeschrieben?

Und nochmals der Hinweis: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.

07.07.2009, 11:45

liberalstone

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RE: Doppelsumme lösen
Ich nehme an, dann ist die Aufgabenstellung wohl nicht ganz vollständig gestellt worden, denn genau so, ohne nähere Definition steht sie auf dem Aufgabenblatt. Nehmen wir an j < k, .., wie verhält es sich dann?

07.07.2009, 11:51

klarsoweit

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RE: Doppelsumme lösen

Zitat:

Original von liberalstone
Ich nehme an, dann ist die Aufgabenstellung wohl nicht ganz vollständig gestellt worden, denn genau so, ohne nähere Definition steht sie auf dem Aufgabenblatt.

Dann mußt du warten, bis du die Definition bekommst. Oder danach fragen.

Zitat:

Original von liberalstone
Nehmen wir an j < k, .., wie verhält es sich dann?

Dann müßte die Summe anders aussehen. Beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \sum_{j=0}^k~ \binom k j \frac{1}{2^{j+k} } \end{eqnarray*}$

07.07.2009, 11:59

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Gewöhnlich betrachtet man ja

$\begin{eqnarray*} \binom{k}{j} := \frac{1}{j!} \cdot \prod\limits_{i=0}^{j-1} (k-i) \end{eqnarray*}$ ,

in dem Sinne ist dann auch $\begin{eqnarray*} \binom{k}{j} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<j \end{eqnarray*}$ .

07.07.2009, 12:11

liberalstone

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RE: Doppelsumme lösen
Gelöst wurde es folgendermaßen (ohne, dass weitere Definitionen gegeben worden wären)
$\begin{eqnarray*} \left(...\right)=\sum_{k=0}^n~\sum_{j=0}^n~\begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j}} \frac{1}{2^{k}} = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{2^{k}} \sum_{j=0}^n~\begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{2^{j}}= \sum_{k=0}^n~\frac{1}{2^{k}}\left(1+\frac{1}{2} \right)^{k} = \sum_{k=0}^n~ \left(\frac{3}{4} \right)^{k}= 4\left[1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} \right] \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, ich habe alles richtig abgeschrieben. Nachvollziehen konnte ich es leider nicht..

07.07.2009, 12:20

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Binomischer Satz

$\begin{eqnarray*} (a+b)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} a^jb^{k-j} \end{eqnarray*}$ ,

angewandt auf $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ .

Und am Ende der Gleichungskette dann einfach Partialsummenformel der gometrischen Reihe.

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