Kern berechnen - lin. unabh. Vektoren

07.07.2009, 13:32

rewe

Kern berechnen - lin. unabh. Vektoren

Hallo!

Ich habe eine Frage bzgl. eines Rechenverfahrens:

Um den Kern einber Matrix zu bestimmen, muss man die Matrix mit elementaren Zeilenoperationen auf Stufenform bringen; der Kern ist die Lösung von A(x)=0..

Ist das soweit richtig?

Wenn ich z.B. diese Matrix hier nach den Zeilenumformungen erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich dann die lin. unabh. Vektoren bestimmen bzw. woran erkenne ich, welche ich frei wählen kann und welche nicht?

Danke!

07.07.2009, 13:42

Philipp Imhof

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RE: Kern berechnen - lin. unabh. Vektoren
Der einfachste Trick dazu ist:

- Matrix in TNF (Treppen-Normalform) bringen
- leere Zeilen einfügen, sodass die Matrix quadratisch wird (falls sie das noch nicht ist) und die Pivot-Elemente auf der Diagonalen zu stehen kommen
- überall wo jetzt auf der Diagonalen eine Null steht ersetzest du diese durch eine -1
- alle Spalten mit einer solchen -1 ergeben zusammen eine Basis für den Kern

Bei deiner Matrix solltest du noch die zweite Zeile mit -1 multiplizieren, um sie in TNF zu haben.

07.07.2009, 13:46

klarsoweit

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RE: Kern berechnen - lin. unabh. Vektoren

Zitat:

Original von rewe
Ist das soweit richtig?

Ja.

Zitat:

Original von rewe
Wie kann ich dann die lin. unabh. Vektoren bestimmen bzw. woran erkenne ich, welche ich frei wählen kann und welche nicht?

Wenn sich die Matrix in Zeilenstufenform befindet, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung einer Basis des Kerns setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

07.07.2009, 18:56

rewe

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Ok, danke.

Bei meinem Beispiel ist dann also in der zweiten Zeile $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nicht frei wählbar.

Ich habe im Grunde das System:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ wählen und dann auflösen?

Oder wie wird das dann gemacht?

07.07.2009, 20:53

Elvis

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In diesem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} x_1+x_4=0,x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ , das Letztere wenn du die zweite Zeile mit -1 multiplizierst.
Jetzt gehst du weiter vor, wie klarsoweit vorgeschlagen hat, d.h. nicht frei wählbar sind $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ , frei wählbar sind $\begin{eqnarray*} x_3=\lambda, x_4=\mu \end{eqnarray*}$ .
Zusammen mit der beiden Gleichungen ergibt das $\begin{eqnarray*} x_1=- \mu , x_2=- \lambda \end{eqnarray*}$ .
Der Kern ist dann der zweidimensionale Raum $\begin{eqnarray*} \lbrace \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\0\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} | \lambda, \mu \in \mathbb K \rbrace \end{eqnarray*}$

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