Hochpunkt bzw. Tiefpunkt?

19.09.2006, 19:29

Hochpunkt bzw. Tiefpunkt?

Hi

Ich habe mal ne Frage bezüglich der Betragsfunktionen:
hat diese Betragsfunktion einen Tiefpunkt??:

also ich meine an den stellen 1 und -1?sind das Tiefpunkt?

19.09.2006, 19:34

irre.flexiv

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Gegenfrage: Ist die Funktion bei den potentiellen Tiefpunkten differenzierbar

19.09.2006, 19:38

Dual Space

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Zitat:

Original von PG
hat diese Betragsfunktion einen Tiefpunkt??

Ja, wenn man z.B. folgende Definition für einen Tiefpunkt zu Grunde legt:

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist Tiefpunkt von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn für alle $\begin{eqnarray*} x\in\operatorname{I\!R} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)\leq f(x) \end{eqnarray*}$ .

19.09.2006, 20:19

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Zitat:

Original von irre.flexiv
Gegenfrage: Ist die Funktion bei den potentiellen Tiefpunkten differenzierbar

nein,

was heisst das jetzt?

19.09.2006, 20:54

MrPSI

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Kann sein, dass ich was wichtiges übersehe, aber wieso ist denn die Funktion an den Stellen 1 und -1 nicht differenzierbar?

Die Funktion ist ja folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \vert x^2 - 4 \vert = \left\lbrace \begin{matrix} x^2 - 4 & \text{für} \ \vert x \vert \geq 2 \\ -(x^2 -4) = 4 - x^2 & \text{für} \vert x \vert < 2 \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$

Und da es sich um $\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$ handelt und deshalb die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 4 - x^2 \end{eqnarray*}$ zum Einsatz kommt, gibt es an den Stellen $\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$ auch eine eindeutige Ableitung.

19.09.2006, 21:18

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sry ich habe mich vertippt- ich meine die stellen -2 und 2!

bitte eine schnelle antwort, da ich gleich weg muss....

sind das tiefpunkte? wenn ja, warum?

19.09.2006, 21:22

MrPSI

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Wenn man das Ableitungskriterium (also $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \wedge f''(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) verwendet, dann kann man die Stellen $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$ nicht überprüfen.

Wenn man Dual Space's Definition benützt, so sind sie Tiefpunkte.

19.09.2006, 21:28

irre.flexiv

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Ich denke mal wir reden von Extrema. Deshalb muss f'(x0) an der Stelle x0 existieren, sonst kann man das Kritierium ja nicht anwenden. MrPsi hats ja schon gesagt.

19.09.2006, 22:16

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ja und welcher definition soll ich jetzt folgen?

also sind sie extrema, weil sie die tiefsten punkte sind, also absolute tiefpunkte`?

19.09.2006, 22:24

irre.flexiv

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Nein, 2 und -2 sind eben keine Extrema weil f'(2) bzw. f'(-2) nicht existieren.
Die Def. von Tiefpunkt musst du jetzt deinem Skript/ Buch oder was auch immer entnehmen.

19.09.2006, 22:28

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aber es sind doch minimums oder?

das heisst die kleinsten funktionswerte an diesen stellen

19.09.2006, 22:41

irre.flexiv

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Ja es sind globale Minima. Ich habe gerade den Wiki-Artikel zu Extremwert gelesen. Demnach ist die Existenz der Ableitung einfach nur ein Kriterium für differenzierbare Funktionen (macht die Arbeit leichter). Es ist also egal ob die Funktion an den Stellen differenzierbar ist, (-2,0) und (2,0) sind Tiefpunkte. Sorry falls ich dich irritiert habe smile

19.09.2006, 22:43

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An den Stellen, von denen du meinst sie seien Minima, liegen Unstetigkeitsstellen vor. Würdest du sie beheben, so würdest du eine andere Ausgangsfunktion erzeugen. Ob man das darf? unglücklich

Edit: Tatsächlich handelt es sich um Minima, aber wie soll man die nun bestimmen können? Mit links- und rechtsseitigem Grenzwert?

20.09.2006, 09:18

Dual Space

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
An den Stellen, von denen du meinst sie seien Minima, liegen Unstetigkeitsstellen vor. Würdest du sie beheben, so würdest du eine andere Ausgangsfunktion erzeugen. Ob man das darf? unglücklich

Verrätst du uns auch noch, wie du darauf kommst? Ich kann kein Problem bzgl. der Stetigkeit der vorgelegten Funktion sehen!

Zum Disput: Die Differentierbarkeit in einem Punkt ist keine notwendige Charakterisierung für eine Extremstelle, so lange man geeignete/sinnvolle Definitionen für Minima/Maxima verwendet.

20.09.2006, 13:51

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Sorry, ich meinte die Stetigkeit der Ableitung!

Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist Tiefpunkt von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn für alle $\begin{eqnarray*} x\in\operatorname{I\!R} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)\leq f(x) \end{eqnarray*}$ .

Gut, dann wäre das mit der Derivative geklärt, aber das Problem, zu ermitteln, an welchen Stellen die Minima nun vorliegen ist noch nicht geklärt!?

20.09.2006, 14:04

Dual Space

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Gut, dann wäre das mit der Derivative geklärt, aber das Problem, zu ermitteln, an welchen Stellen die Minima nun vorliegen ist noch nicht geklärt!?

Bei Betragsfunktionen (dieser Art) macht man das via Fallunterscheidung. Man sucht also die x, für die gilt $\begin{eqnarray*} |x^2-4|=0 \end{eqnarray*}$ .

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