Unkorreliertheit + Normalverteilung = Unabhängigkeit - Herleitung

07.07.2009, 14:25

statfred

Unkorreliertheit + Normalverteilung = Unabhängigkeit - Herleitung

Hallo,

ich habe jetzt mindestens 2h gegoogelt und Bücher gewälzt. Es wird immer behauptet, dass zwei normalverteilte unkorrelierte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig sind - was im allgemeinen ja nicht der Fall ist.

Warum aber aus Unkorreliertheit + Normalverteilung Unabhängigkeit folgt, verschweigen die Autoren eifrig.

Kann mir jemand erklären bzw. herleiten, warum die Schlussfolgerung zulässig ist?

Vielen Dank. smile

07.07.2009, 14:43

statfred

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unkorreliertheit + Normalverteilung = Unabhängigkeit - Herleitung
Ich habe jetzt einfach mal das Produkt zweier Dichten unkorrelierter normalverteilter Zufallsvariablen berechnet und heraus kam die bivariate Normalverteilung bei Korrelation von Null. Damit hätte ich die Unabhängigkeit gezeigt.

Aber gibt es eine "intuitive" Erklärung dafür?

07.07.2009, 15:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von statfred
Warum aber aus Unkorreliertheit + Normalverteilung Unabhängigkeit folgt, verschweigen die Autoren eifrig.

Kann mir jemand erklären bzw. herleiten, warum die Schlussfolgerung zulässig ist?

Nein, die Aussage ist in dieser Allgemeinheit falsch. Man betrachte nur mal eine standardnormalverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sowie daraus konstruiert

$\begin{eqnarray*} Y_a := \begin{cases} X & \;\mbox{falls}\; |X| \leq a \\ -X & \;\mbox{falls}\; |X| > a \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Aus Symmetriegründen wird ersichtlich, dass $\begin{eqnarray*} Y_a \end{eqnarray*}$ ebenfalls standardnormalverteilt ist, und zwar für alle $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Kommen wir zur Kovarianz:

$\begin{eqnarray*} g(a) := \operatorname{cov}(X,Y_a) = E(XY_a) = E(X^2\cdot 1_{|X|\leq a} - X^2\cdot 1_{|X|> a}) = E(2X^2\cdot 1_{|X|\leq a} - X^2) = 2 \int\limits_{-a}^a ~ x^2\varphi(x) ~ \dd x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist stetig und monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} g(0)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\to\infty} g(a) = 1 \end{eqnarray*}$ , also gibt es nach Zwischenwertsatz ein $\begin{eqnarray*} a^*>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(a^*)=0 \end{eqnarray*}$ .

Demnach sind $\begin{eqnarray*} X,Y_{a^*} \end{eqnarray*}$ unkorreliert, aber ganz offensichtlich nicht unabhängig.

EDIT: Ist zwar nicht wichtig, aber es gilt etwa $\begin{eqnarray*} a^* \approx 1.5382 \end{eqnarray*}$ .

Nachtrag (14.07.2009): Wie so oft macht es auch hier keinen Spaß, nur für den Papierkorb zu schreiben. Bleibt mir nur die Hoffnung, dass der Thread später mal bei einer ähnlichen Nachfrage nochmal nützlich wird.

20.06.2012, 23:44

kanass

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nachtrag (14.07.2009): Wie so oft macht es auch hier keinen Spaß, nur für den Papierkorb zu schreiben. Bleibt mir nur die Hoffnung, dass der Thread später mal bei einer ähnlichen Nachfrage nochmal nützlich wird.

nach fast 3 jahren dann doch. danke smile

21.10.2016, 14:46

RlfDD

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Auch von mir ein Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Unkorreliertheit + Normalverteilung = Unabhängigkeit - Herleitung

Verwandte Themen