Fourier (mal wieder)

08.07.2009, 00:18

mf2

Fourier (mal wieder)

Aufgabe ist die Bestimmung der Fourier-Reihe von f(t)=-|t|

Dummerweise scheiterts schon beim Ansatz :|

Da die Funktion symmetrisch ist, habe ich ja nur cos-Anteile, die ich so berechnen will:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi }~-t cos(nt)~dt = \frac{-2}{\pi} \int_{0}^{\pi }~t cos(nt)~dt = \frac{2}{\pi} \int_{\pi}^{0}~t cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Nun ist aber laut offizieller Lösung:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{0}~t cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Und ich frage mich, wo kommt denn jetzt das Minus vor dem Pi her?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

08.07.2009, 08:30

klarsoweit

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RE: Fourier (mal wieder)
Wegen der Achsensymmetrie ist nun mal $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi }~-t cos(nt)~dt = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{0}~t cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

08.07.2009, 10:45

mf2

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Also ich kann nachvollziehen, dass es im Grunde ja egal ist, welche Fläche ich berechne (von -pi bis 0 oder von 0 bis pi), aber warum dann bei dem einen -t und bei dem anderen t?

08.07.2009, 11:02

klarsoweit

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Da solltest du dir mal überlegen, wie die Funktion f(t) = -|t| auf jedem Intervall aussieht.

08.07.2009, 14:33

Leopold

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Zitat:

Original von mf2
Also ich kann nachvollziehen, dass es im Grunde ja egal ist, welche Fläche ich berechne (von -pi bis 0 oder von 0 bis pi), aber warum dann bei dem einen -t und bei dem anderen t?

Die Funktion $\begin{eqnarray*} t \mapsto t \end{eqnarray*}$ ist ungerade, die Funktion $\begin{eqnarray*} t \mapsto \cos(nt) \end{eqnarray*}$ dagegen gerade. Also ist das Produkt $\begin{eqnarray*} t \mapsto t \cos(nt) \end{eqnarray*}$ ungerade, d.h. der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit ändert sich beim Übergang vom Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ zum Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen des Integrals.

Beispiel für eine andere ungerade Funktion

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 t^3~\dd t = 4 \, , \ \ \int_{-2}^0 t^3~\dd t = -4 \end{eqnarray*}$

Eine Vorzeichenänderung beim Integranden erzeugt gleiche Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^0 -t^3~\dd t = 4 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 -t^3~\dd t = -4 \end{eqnarray*}$

08.07.2009, 14:53

klarsoweit

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@Leopold: hier geht es aber ausnahmlos um gerade Funktionen. Und die Frage, warum -|t| = t ist für t < 0, hat mit Integration etc. überhaupt nichts zu tun. smile

08.07.2009, 15:30

Leopold

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@ klarsoweit

Ich habe mf2 so verstanden, daß es ihm nicht darum geht, die Integralformel für die Fourierkoeffizienten aufzustellen (das hat er ja richtig gemacht, sonst könnte man den Faktor 2 in seinem ersten Beitrag nicht erklären), sondern das Integral umzuformen. Und auf diese Integralumformung bezieht sich mein Beitrag. Daß $\begin{eqnarray*} t \mapsto -|t| \end{eqnarray*}$ gerade ist, bestreite ich nicht. Daß aber $\begin{eqnarray*} t \mapsto t \cos(nt) \end{eqnarray*}$ ungerade ist, ist ebenso richtig.

08.07.2009, 16:07

mf2

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Jetzt bin ich völlig verwirrt Erstaunt1

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(t)~dt = -\int_{a}^{b}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Das behaupten die gängigen Formelsammlungen, gilt das jetzt etwa nur für gerade Funktionen?

@klarsoweit:

f(t)=-|t| ist ja für t<0 negativ und für t>0 .. auch negativ.
Worauf genau wolltest du hinaus?

08.07.2009, 16:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von mf2
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(t)~dt = -\int_{a}^{b}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Das behaupten die gängigen Formelsammlungen, gilt das jetzt etwa nur für gerade Funktionen?

Obiges gilt für alle integrierbaren Funktionen.

Für integrierbare ungerade Funktionen gilt obendrein:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~f(t)~dt = -\int_{-a}^{0}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

08.07.2009, 16:13

Leopold

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Zitat:

Original von mf2
Jetzt bin ich völlig verwirrt Erstaunt1

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(t)~dt = -\int_{a}^{b}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Das behaupten die gängigen Formelsammlungen, gilt das jetzt etwa nur für gerade Funktionen?

Nein, das gilt, Integrierbarkeit vorausgesetzt, immer. Aber das ist ja auch gar nicht die Umformung, um die es hier geht. Schließlich werden da ja nicht die Integrationsgrenzen vertauscht: $\begin{eqnarray*} a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$ , sondern wertemäßig geändert: $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \leftrightarrow [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ . Beachte das Vorzeichen.

08.07.2009, 16:15

mf2

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Ok!

Ich habe es grad mal beispielhaft mit Leopolds t³ nachgerechnet und konnte es jetzt nachvollziehen, vielen Dank euch beiden Augenzwinkern

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