Frage zur Ableitung

08.07.2009, 07:00

JollyJumper86

Frage zur Ableitung

Guten Morgen an alle!

Habe heut eine Aufgabe zur Differentiation bekommen. Bin zwar mit der Kettenregel vertraut, aber bei dieser Aufgabe bin ich gescheitert:

unglücklich

$\begin{eqnarray*} <br /> ln\sqrt{x^2+x+\sqrt{e^(2ln(x+1))} } \end{eqnarray*}$

Kann man den Term vielleicht auseinanderziehen, um leichter dahinterzukommen?
Wisst ihr eine Möglichkeit?

Viele Grüße

JollyJumper

08.07.2009, 07:52

Leopold

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Es soll wohl so heißen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln \sqrt{x^2+x+\sqrt{e^{2 \ln (x+1)}}} \end{eqnarray*}$

Dazu ist zu sagen:

$\begin{eqnarray*} \ln \sqrt{u} = \ln u^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln u \ \ \mbox{für} \ u>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2v}} = \sqrt{\left( a^v \right)^2} = a^v \ \ \mbox{für} \ a>0 \end{eqnarray*}$

Und daß Exponential- und Logarithmusfunktion Umkehrungen voneinander sind, ist dir sicher bekannt.

08.07.2009, 08:52

JollyJumper86

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Ja, das sollte es heißen. Big Laugh

Hab mir das alles nochmal angesehen:

f(x) = $\begin{eqnarray*} 0,5*ln(x^{2}+2*x+1) \end{eqnarray*}$

und f´(x) = x+1

Richtig?

Hammer

08.07.2009, 10:07

Investigator

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Du kannst noch folgende Umformungen vornehmen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 0,5 \ln{(x^{2}+2x+1)} = 0,5 \ln{((x+1)^2)} = \ln{(x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{...}{...} \end{eqnarray*}$

Was steht im Nenner und Zähler?

08.07.2009, 10:51

JollyJumper86

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wenn f(x) = ln (x+1) ist.

Dann ist du/dx 1, dv/dx 1/u.
Jetzt beide multiplizieren.
Damit kommt man wieder auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Freude

08.07.2009, 14:41

Leopold

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Zitat:

Original von Investigator
Du kannst noch folgende Umformungen vornehmen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 0,5 \ln{(x^{2}+2x+1)} = 0,5 \ln{((x+1)^2)} = \ln{(x+1)} \end{eqnarray*}$

VORSICHT! Das ist nur bedingt richtig. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \ln u^2 = 2 \ln u \ \ \mbox{für} \ u>0 \end{eqnarray*}$

Und die Voraussetzung für die Gültigkeit der Formel kann man nicht achtlos beiseite lassen. Solange über den Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nichts bekannt ist (z.B. $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ ), muß man folgendermaßen schließen:

Für $\begin{eqnarray*} x \neq -1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \ln (x^2 + 2x + 1) = \ln (x+1)^2 = \ln |x+1|^2 = 2 \ln |x+1| \end{eqnarray*}$

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