Existenz der partiellen Ableitungen

08.07.2009, 11:29

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Existenz der partiellen Ableitungen

Hallo,
ich komme grad bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^3} \end{eqnarray*}$

a) Existieren die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ im Punkt (0,0)? Wenn ja, berechnen Sie diese!

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac {\sqrt[3]{h^3+0^3}}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Aus Symmetriegründe ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {f(0,0+h)-f(0,0)}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Somit existieren die partiellen Ableitungen im Punkt 0, da es Grenzwerte gibt.

Nun soll ich ja $\begin{eqnarray*} f_x(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(0,0) \end{eqnarray*}$ berechnen, hier weiß ich nicht weiter, und zwar:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x^2}{(x^3+y^3)^{\frac 2 3}} \\ \frac{y^2}{(x^3+y^3)^{\frac 2 3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sehe ich dass die partiellen Ableitungen im Nullpunkt nicht definiert sind. Ich hatte schon überlegt es wie folgt anzugehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2}{(x^3+y^3)^{\frac 2 3}} \end{eqnarray*}$

Aber mir fällt nichts ein wie ich weiter machen. Hoffe ihr könnt mir helfen, danke schonmal

08.07.2009, 11:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Existenz der partiellen Ableitungen
Du hast doch die partiellen Ableitungen im Nullpunkt ausgerechnet. Mehr war nicht zu tun. smile

smile

08.07.2009, 11:35

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach

Hammer

$\begin{eqnarray*} f_x(0,0) = f_y(0,0) = 1 \end{eqnarray*}$

Danke.

08.07.2009, 11:58

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

b) Ist f in (0,0) vollständig differenzierbar?

Lösung:

falls f(x,y) in (0,0) total differenzierbar, so ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{D} f(0,0) = (\nabla f(0,0))^T \end{eqnarray*}$ und folgender Grenzwert existiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

Ich suche gerade eine geeignete Abschätzung, aber finde grad keine, hat jemand einen Tip?

08.07.2009, 12:44

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
b) Ist f in (0,0) vollständig differenzierbar?

Lösung:

falls f(x,y) in (0,0) total differenzierbar, so ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{D} f(0,0) = (\nabla f(0,0))^T \end{eqnarray*}$ und folgender Grenzwert existiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

Der existiert dann nicht nur, sondern ist auch gleich Null!

08.07.2009, 12:47

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich vergessen hinzuschreiben.

Also mein Plan ist ja den Grenzwert nach oben abzuschätzen, sodass er trotzdem noch gegen 0 geht.

Anzeige

08.07.2009, 14:09

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht das so?

$\begin{eqnarray*} \ldots = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x \leq \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} 2(\sqrt{x^2+y^2})^2 = 0 \end{eqnarray*}$

08.07.2009, 14:27

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Geht das so?

$\begin{eqnarray*} \ldots = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

Nein, da du a priori nicht weißt, ob x und y positiv sind.

08.07.2009, 14:29

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist hier eine Fallunterscheidung zu machen oder bringt mich eine Abschätzung ans Ziel?

08.07.2009, 14:34

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch eine Fallunterscheidung ist hier nutzlos, da sich (x,y) beliebig dem Ursprung nähern kann.

08.07.2009, 14:44

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, jetzt hats klick gemacht.

Ich definiere mir 2 Folgen mit

$\begin{eqnarray*} (x_n) \to 0 , (x_n) \neq 0 \quad \text{und} \quad (y_n) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x_n, y_n \to 0} \frac {\sqrt[3]{x_n^3}-x_n}{\sqrt {x_n^2}}=0 \end{eqnarray*}$

Reicht das? Oder muss ich noch den Fall zeigen:

$\begin{eqnarray*} (x_n) \to 0 , (x_n) \neq 0 \quad \text{und} \quad (y_n) \to 0, (y_n) \neq 0 \quad \text{und} \quad (x_n)=(y_n) \end{eqnarray*}$

Wobei ich ja immer wieder Einschränkungen habe.

08.07.2009, 17:16

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade in der Vorlesung was gefunden, da haben wir den Grenzwert des Betrages gebildet, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left |\frac {f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right|= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \end{eqnarray*}$

Das hilft mir aber grad auch nicht weiter, ein kleiner Tip wäre super smile

smile

08.07.2009, 19:56

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Ach, jetzt hats klick gemacht.

Ich definiere mir 2 Folgen mit

$\begin{eqnarray*} (x_n) \to 0 , (x_n) \neq 0 \quad \text{und} \quad (y_n) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x_n, y_n \to 0} \frac {\sqrt[3]{x_n^3}-x_n}{\sqrt {x_n^2}}=0 \end{eqnarray*}$

Reicht das?

Wieder nein. Dieses Vorgehen ist höchstens dazu geeignet um zu zeigen, dass ein Grenzwert nicht existiert.

08.07.2009, 20:08

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist mir dann auch aufgefallen, darum versuch ich jetzt schon eine Weile über diesen Ansatz (den wir im Tutorium hatten):

Zitat:

Original von stereo

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left |\frac {f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right|= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {|\sqrt[3]{x^3+y^3}|+|-x|+|-y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

Kann ich das so machen? Warum kann man den Betrag nehmen?

Danke für die Hilfe Freude

Freude

08.07.2009, 20:12

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Warum kann man den Betrag nehmen?

Weil $\begin{eqnarray*} \lim|\dots|=0 \end{eqnarray*}$ impliziert, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \lim(\dots)=0 \end{eqnarray*}$ .

Wie dem auch sei. Die Abschätzung mit der Dreieicksungleichung erscheint mir hier zu brutal. Damit wirst du wohl auch nicht zum Ziel kommen.

08.07.2009, 20:47

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac {\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac {\sqrt[3]{(x+y)(x^2-xy+y^2)}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht weiter abzuschätzen. Ich habs auch schon mit quadratischer Ergänzung versucht, aber ich sehe nicht wirklich einen Sinn darin. Da ich eben nicht weiß ob x und y positiv oder negtiv sind.

Hast du einen Tip?

08.07.2009, 21:33

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Super ich habe es.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac {x^2}{(x^3+y^3)^{\frac 2 3}} \\ \frac {y^2}{(x^3+y^3)^{\frac 2 3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Punkt (0,0) existiert der Gradient nicht, deswegen habe ich das mit der Definiton falsch gemacht.

Die Funktion ist in (0,0) nicht vollständig differenzierbar, da die partiellen Ableitungen dort nicht stetig sind - auch wenn sie existieren.

@ Dual Space:

Kann man das auch mit dem Grenzwert machen? Weil du nicht gesagt hattest dass das falsch ist.
Ich hab gelesen dass man es nicht machen kann, da

Man darf partielle Ableitungen bilden, der Gradient ist ein Vektor mit den partiellen Ableitungen.
Aber der Gradient ist in (0,0) nicht stetig, darum kann man mit ihm keine Tangentialebene beschreiben.

Stimmt das jetzt so?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »