Matrix einer Symmetrie des Würfels

08.07.2009, 15:04	Dany1912	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix einer Symmetrie des Würfels Hallo an alle! Ich hänge gerade an meinen Hausaufgaben, die ich morgen abgeben muss. Die Aufgabenstellung ist folgende: Die Matrizen A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , C= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und D= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ beschreiben Symmetrien des Würfels mit den Ecken $\begin{eqnarray} (\pm 1,\pm 1,\pm 1) \end{eqnarray}$ . Finden Sie zu jeder Matrix deren geometrische Bedeutung. Mein Ansatz: Ich habe zuerst mal die Determinanten der einzelnen Matrizen berechnet, um zu schauen, ob es sich um eine Drehung oder eine (Dreh-)Spiegelung handelt. Bei Matrix A ist die det=1, also handelt es sich um eine Spiegelung. Wir hatten diese Matrix schon mal, daher weiß ich, dass es eine 180°-Drehung um die z-Achse sein muss. Meine Fragen: 1.) Woher erkenne ich, um welche Drehung/(Dreh-)Spiegelung es sich handelt? --> Liegt das an der positiven Komponente, bei Matrix A also an der 1 an der letzten Stelle? 2.) Die Art der Angabe muss wie folgt aussehen: z.B. 90°-Drehspiegelung mit Drehachse durch (1,-1,1). Wie muss ich das angeben, wenn ich das auf die Matrix A anwenden möchte, also die 180°-Drehung um die z-Achse. Ich danke euch schon einmal vorab für eure Hilfe!
08.07.2009, 15:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix einer Symmetrie des Würfels Wie sehen denn Dreh uns Spiegelmatrizen aus? Mit sinus und cosinus. Zur ersten Matrix. 1. Wie lautet da offensichtlich ein Eigenvektor? 2. cos(180°)=-1, sin(180°) = -sin(180°)=0
08.07.2009, 15:14	Dany1912	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix einer Symmetrie des Würfels Hi Tigerbine, danke für deine schnelle Antwort. Über den Weg der Drehmatrix mit sin und cos haben wir das damals gar nicht gemacht. Ich kenn das zwar aus Lin. Algebra, aber in der momentanen Veranstaltung ist der Dozent nicht näher darauf eingegangen. Scheinbar war es für ihn (und einige Kommilitonen) ziemlich klar, was bei welcher Matrix passiert. Wir hatten nur zwei Beispiele und die wurden knapp besprochen. Ich habe mir schon einen Würfel gezeichnet, um mir die einzelnen Symmetrien zu veranschaulichen, aber ich weiß nicht, was es da mit der Matrix auf sich hat. Vielleicht hat hierzu noch jemand eine Idee? Dank dir!
08.07.2009, 15:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix einer Symmetrie des Würfels Vielleicht "sehen" die sin und cos einfach? Warum willst du es nicht damit versuchen?
08.07.2009, 15:33	Dany1912	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix einer Symmetrie des Würfels Ja gut, dachte es ist möglich, dass "einfach zu sehen" und ich bin nur blind... ? Könntest du mir denn vielleicht erklären, wie ich das machen muss? Ist schon einige Semester her.. Hab gerade recherchiert: Muss ich also erstmal einen Eigenwert berechnen, zu dem ich dann den Eigenvektor bestimme (oder sieht man das schon anhand der Matrix?) Woher weißt du bei 2. dass du cos, sin und -sin berechnen musst?
08.07.2009, 15:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix einer Symmetrie des Würfels Google dir bitte was zu solchen Matrizen. Oder auch mal Boardsuche. Wir suchen solche quadrate (Durch Streichung) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & - \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) &\cos(\varphi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & -\cos(\varphi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da treten dann ja gerne auch mal +/-1 und 0 zusammen auf. Wie eben hier bei dir. Ich muss nun weg. GGf hilft jemand anders weiter.
Anzeige

08.07.2009, 17:03	Dany1912	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich könnte echt noch Hilfe gebrauchen, blick da wirklich nicht durch, und ich glaub auch irgendwie nicht, dass wir die Rechnung so durchführen müssen. Ich verstehe zwar, dass das auch zum Ergebnis führt, aber es muss einen anderen Weg geben. Die Berechnung von Eigenwerten und -vektoren haben wir in der Veranstaltung nie gemacht, unser Prof. hätte uns das also erklärt, falls es die Voraussetzung fürs Lösen der Aufgaben wäre. Es wäre echt super, wenn jemand noch einen anderen Weg kennt oder zumindest eine Idee hat. Vielleicht auch noch mal bezüglich der Veranschaulichung. Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »