ähnliche Matrizen, konjugierendes Element bestimmen

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MI Auf diesen Beitrag antworten »
ähnliche Matrizen, konjugierendes Element bestimmen
Es geht um die Bestimmung eines konjugierenden Element zwischen zwei Matrizen konstruieren (die Existenz ist gesichert) mit .

Normalerweise sind wir so vorgegangen:
Bestimmung des Minimalpolynoms
Bestimmung der Diagonalmatrix (mit Diagonalblöcken für irreduzible Polynome)
Bestimmung der Eigenräume und dann konnten wir mit Hilfe der Basen der Eigenräume ein entsprechendes konjugierendes Element konstruieren.

Nun habe ich die beiden Matrizen



Das Minimalpolynom beider Matrizen ist .
Eine Basis der entsprechenden Eigenräume für den einzigen Eigenwert kann ich auch angeben (dim 2, Bestimmung der Basis über Kern(A-2I) bzw. Kern(B-2I) mit der Einheitsmatrix I) - aber das hilft eher nicht.

Nun entsteht das Problem, dass unser normaler Algorithmus nicht anwendbar ist, wenn wir Vielfachheiten im Minimalpolynom haben - wie es ja hier gegeben ist.

Vielfachheiten haben wir auch in der Vorlesung überhaupt nicht besprochen (kommt wohl nächstes Semester im Zuge der Jordan-Normalform). Hat da jemand einen Tipp für mich, was ich mir vielleicht mal anschauen könnte?

Gruß
MI
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ähnliche Matrizen, konjugierendes Element bestimmen
Hallo MI,

Die Matrix ist ja in Jordanform gegeben (ob die Einsen über oder unter der Diagonalen stehen ist egal Augenzwinkern ).
Zu jedem der 2x2-Blöcke gehört hier nun ein Eigenvektor und ein sogenannter Hauptvektor.
Falls Du das noch nicht hattest, ist es auch nicht so schlimm, für Dich ist erst mal nur wichtig, dass es zu jeden Eigenvektor einen Vektor gibt, mit . Einen solchen Vektor gibt es aber auch für .

So findest Du dann eine Basis, mit der Du auf die Gestalt bringen kannst.

Gruß,
Reksilat.
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ähnliche Matrizen, konjugierendes Element bestimmen
EDIT: Sorry, hatte noch einen Fehler gefunden. Basis des Eigenraums von A und die ws korrigiert!

Danke schon einmal für deine Antwort.

Wie gesagt - über die Jordan-Form werden wir erst nächstes Semester sprechen. Wir haben zwar ein Kapitel über Vielfachheiten in unserem Skript, aber das wurde vollständig ausgelassen - und bestand sowieso nur aus einem Lemma und einem Beispiel. Das kann also kaum Voraussetzung sein.

Okay, also wie gesagt, die Eigenräume (so haben wir sie dann genannt, scheinen dann ja die Haupträume zu sein) habe ich ausgerechnet, eine Basis kann ich angeben:

Zur Matrix A:



Das ist eine Basis für diesen Eigenraum. Ich gehe einmal davon aus, dass du meinst, dass die Menge der ersten Eigenvektoren zum ersten Block gehört und die Menge der zweiten zum zweiten Block.
Das wäre dann jeweils und

Endsprechend weiß ich zu B:



als Basis für den entsprechenden Eigenraum. Ich muss also jetzt zu den beiden Basisvektoren das entsprechende finden und diese [latex] stellen dann meine Basis dar, oder verstehe ich dich da völlig falsch?

Gruß
MI
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal editiert.
Sieht so weit ganz ordentlich aus. Allerdings kann man die auch einfacher angeben (wenn man Vielfache von dazuaddiert ändert sich die Eigenschaft ja nicht.) Augenzwinkern
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke. Dass ich da noch mulitplizieren kann, dachte ich mir. Werde ich entsprechend ausnutzen.

Die anderen beiden w sind ja nun leider nicht so einfach zu bestimmen.
Ich müsste aber folgendermaßen rechnen dürfen:



Da kann ich jetzt eine gewisse Menge Gauß drauf anwenden (invertierbar ist das Ding ja leider nicht), um dann w zu bestimmen. Und das mache ich für meine beiden v.

Dann habe ich - wenn ich mich nicht verrechnet habe - die beiden ws
und


(Ja ich weiß, die Brüche kann ich eliminieren Augenzwinkern ).

Und das wäre dann, wenn ich mich nicht verrechnet habe, die entsprechende Basis, also die Spalten der Matrix? EDIT: Das kann ich mir irgenwie kaum vorstellen gerade...

Gruß
MI
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt Vektoren:


mit , , und
(Habe ich jedenfalls so raus)

Wenn Du die nun geeignet anordnest, dann hat bezüglich dieser Basis die Form .
 
 
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, sprich meine w's erweitern mir den Eigenraum so, dass ich eben das Element finden kann.

Wenn ich jetzt die Matrix

bilde und entsprechend konjugiere, dann erhalte ich A.

Entsprechend müsste sich dann aus den w's bzw. den beiden EW von A eine Form ergeben, sodass B entsteht?

Das einzige, was mir jetzt natürlich noch nicht so klar ist, ist warum das funktioniert...
Ich gehe einmal davon aus, dass ich das spätestens nächstes Semester lernen werde, oder ist es verhältnismäßig einfach, sodass Du es hier "auf die Schnelle" erklären könntest

Auf jeden Fall schon einmal ein großes Dankeschön an dieser Stelle!

Gruß
MI
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MI
Wenn ich jetzt die Matrix

bilde und entsprechend konjugiere, dann erhalte ich A.

Mit dieser Reihenfolge erhältst Du meiner Meinung nach nicht , sondern .

Zitat:
Entsprechend müsste sich dann aus den w's bzw. den beiden EW von A eine Form ergeben, sodass B entsteht?

Es geht ja hier gerade darum, dass in so einer schönen Form gegeben ist. sieht relativ durcheinander aus, d.h. die andere Richtung ist allgemein nicht so leicht. Außerdem hast Du ja jetzt die Transformationsmatrix gefunden - die Rücktransformation ist insofern trivial.

Zitat:
Das einzige, was mir jetzt natürlich noch nicht so klar ist, ist warum das funktioniert...

Was haben wir hier eigentlich gemacht? Wir haben uns schlicht und einfach Vektoren gesucht, bezüglich derer die Matrix die Form hat. Das hat letztlich gar nicht so viel mit der Jordanform zu tun - man muss sich nur die Matrix genau anschauen und sich überlegen, wie diese Matrix die Basisvektoren abbildet.
Dann sucht man eine Basis, auf der analog operiert.

Gruß,
Reksilat.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die w's müssen vor den v stehen, dann erhalte ich die gewünschte Matrix.

Zitat:
Zitat:
Entsprechend müsste sich dann aus den w's bzw. den beiden EW von A eine Form ergeben, sodass B entsteht?

Es geht ja hier gerade darum, dass in so einer schönen Form gegeben ist. sieht relativ durcheinander aus, d.h. die andere Richtung ist allgemein nicht so leicht. Außerdem hast Du ja jetzt die Transformationsmatrix gefunden - die Rücktransformation ist insofern trivial.


Gut, in unserer Aufgabe ging es erst einmal nur darum, Konjugationen - wenn möglich - zu finden. Dass man natürlich in der Praxis die quasi-Diagonalformen lieber hat, das ist klar. Damit kann man nun einmal viel bequemer rechnen.
Ferner ist klar, dass ich natürlich die Umkehrtransformationen gefunden haben muss, wenn ich eine Richtung gefunden habe. Mir ging es lediglich darum, dass dies auch wäre möglich gewesen.

Zitat:
Zitat:
Das einzige, was mir jetzt natürlich noch nicht so klar ist, ist warum das funktioniert...

Was haben wir hier eigentlich gemacht? Wir haben uns schlicht und einfach Vektoren gesucht, bezüglich derer die Matrix die Form hat. Das hat letztlich gar nicht so viel mit der Jordanform zu tun - man muss sich nur die Matrix genau anschauen und sich überlegen, wie diese Matrix die Basisvektoren abbildet.
Dann sucht man eine Basis, auf der analog operiert.


Hmm... Ja, okay, die Idee dahinter ist klar... Die Feinheiten stören mich derzeit noch etwas. Wie ich auf die entsprechenden Tricks komme, etc. Aber ich glaube, ich schlafe einfach mal eine Nacht drüber und schaue es mir dann noch einmal an.

Vielen Dank noch einmal.

Gruß
MI
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell ist es ja auch möglich, einfach für anzusetzen. Aber wer möchte schon ein 16x16-LGS lösen? Big Laugh

gn8,
Reksilat.
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