Summenberechnung

09.07.2009, 10:30

Gasto

Summenberechnung

Hi ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen sie den wert der Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k²+k-2} \end{eqnarray*}$

Ich hab dann mal meine Partialbruchzerlegung gemacht und komme dann auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \frac{1}{3(k-1)}- \frac{1}{3(k+2} \end{eqnarray*}$

So nun hat mir ein Kollege gesagt ich kann nun die Grenzen bzw Summationsindex anpassen sodass sich alles rauskürzt??

Leider habe ich keine ahnung wie das gehen soll, vielleicht habt ihr ja ne Lösung.
Danke schonmal im Vorraus!

09.07.2009, 10:38

Duedi

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Ziehe mal die beiden Brüche in verschiedene Summen und versuche, die Summanden gleich zu machen.

09.07.2009, 10:43

Gast 30

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???
ja genau das ist mein Problem, wie verändere ich die Indizes um die Summen in die gleiche Form zu bringen??

09.07.2009, 10:48

Duedi

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n\frac{1}{3(k-1)}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{3(k+2)} \end{eqnarray*}$

Wie muss sich jetzt (k+2) "verändern", dass da (k-1) steht?

09.07.2009, 10:56

Gast 30

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..
-3 dann habe ich die identische summe, aber wie schaut dann der summationsindex aus und wie mach ich dann weiter?

09.07.2009, 11:17

Jacques

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Re: ..
Hallo,

Zitat:

Original von Gast 30

-3 dann habe ich die identische summe

Nicht die Summen sind identisch, sondern die allgemeinen Summanden.

Zitat:

Original von Gast 30

wie schaut dann der summationsindex aus und wie mach ich dann weiter?

Bei der rechten Summe werden die eingehenden Zahlen (2, 3, ...) um 3 kleiner gemacht als vorher:

Ausgangssumme

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n}\, \frac{1}{3(k+2)} = \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \ldots \frac{1}{3 \cdot (n + 2)} \end{eqnarray*}$

Summe mit verändertem Summanden

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n}\, \frac{1}{3(k-1)} = \frac{1}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 3} + \ldots \frac{1}{3 \cdot (n - 1)} \end{eqnarray*}$

Um diesen Effekt auszugleichen, müssen die Zahlen schon um 3 größer eingehen, d. h., die Indizes dürfen nicht 2, 3, ... heißen, sondern 5, 6, ... Du verschiebst also beide Summationsgrenzen um 3 nach oben.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=5}^{n+3}\, \frac{1}{3(k-1)} = \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \ldots \frac{1}{3 \cdot (n + 2)} \end{eqnarray*}$

Das ist wieder die Ausgangssumme, wie man sieht.

09.07.2009, 12:20

gast30

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danke erstmal...
und was schreibe ich nun als "wert der Summe" als Ergebnis hin?

1. summe mit den Grenzen k=2 bis n - 2. Summe mit den Grenzen k=5 bis n+3 ??
oder stehen dann nur 3 einzeln Summen dann noch da?

09.07.2009, 13:49

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RE: danke erstmal...

Zitat:

Original von gast30
1. summe mit den Grenzen k=2 bis n - 2. Summe mit den Grenzen k=5 bis n+3 ??

Da bist du doch noch gar nicht zum eigentlich wichtigen vorgedrungen: Der Auslöschung des überwiegenden Teils der beiden Summen! Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+3} \frac{1}{3(k-1)} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{3(k-1)} + \sum_{k=n+1}^{n+3} \frac{1}{3(k-1)} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+3} \frac{1}{3(k-1)} = \sum_{k=2}^{4} \frac{1}{3(k-1)} + \sum_{k=5}^{n+3} \frac{1}{3(k-1)} \end{eqnarray*}$ .

Subtraktion ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{3(k-1)} ~ - ~ \sum_{k=5}^{n+3} \frac{1}{3(k-1)} = \sum_{k=2}^4 \frac{1}{3(k-1)} ~ - ~ \sum_{k=n+1}^{n+3} \frac{1}{3(k-1)} = \frac{11}{18} - \frac{1}{3n} - \frac{1}{3n+3} - \frac{1}{3n+6} \end{eqnarray*}$ .

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