Inversionsmethode

09.07.2009, 16:23

maddinac

Inversionsmethode

Hallo erstmal ans Forum.
Bin grad über google auf euch gestoßen weil ich zu einer Frage die ich habe hier schon etwas gefunden habe. Es geht um folgendes.
Ich möchte Zufallszahlen erzeugen die nach folgender Funktion verteilt sind:
$\begin{eqnarray*} F(x)=e^{-a\cdot x} \end{eqnarray*}$ .
Soweit ich mich informiert habe gibt es dafür zwei Mögichkeiten:
Inversionsmethode und Verwerfungsmethode.
Bei der INversionsmethode steth allerdings als Bedingung, dass die Funktion nicht fallend sein muss, was bei obiger Funktino leider nicht gegeben ist.
Allerdings habe ich mal die Inverse gebildet und das einfach ignortiert und bekomme damit auch ganz gute WErte. Jedenfalls scheint das so.
Kann mir das jemand erklären?
Kann ich die Inversionsmethode hier anwenden?

Vielen dank,

Martin.

09.07.2009, 17:45

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Zitat:

Original von maddinac
Bei der INversionsmethode steth allerdings als Bedingung, dass die Funktion nicht fallend sein muss, was bei obiger Funktino leider nicht gegeben ist.

Was nicht fallend sein darf, ist die Verteilungsfunktion der zu simulierenden Zufallsgröße - so wie jede Verteilungsfunktion. Dein

$\begin{eqnarray*} F(x) \stackrel{?}{=} e^{-a\cdot x} \end{eqnarray*}$

ist monoton fallend und kann somit gar nicht die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße sein. unglücklich

P.S.: Falls es dir um die Exponentialverteilung geht - deren Verteilungsfunktion ist

$\begin{eqnarray*} F(x) = 1-e^{-a\cdot x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Der Grund, warum du dennoch vernünftige Werte rausgekriegt hast ist, dass für $\begin{eqnarray*} U\sim \mathcal{U}(0,1) \end{eqnarray*}$ (also stetige Gleichverteilung auf [0,1]) auch $\begin{eqnarray*} (1-U)\sim \mathcal{U}(0,1) \end{eqnarray*}$ gilt.

09.07.2009, 18:30

maddinac

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Ok. das heißt ich kann diese Methode verwenden? Ich dachte mir schon, dass das ja im Prinzip genau das gleiche wie die Exponentialverteilung ist nur eben andersherum.

Ja, ich habe mich mit dem Begriff der Verteilungsfunktion vertan.
Mein F soll keine Verteilungsfunktion sein, sonder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
D.h. $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X=x) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ meine Zufallsvariable ist.

Kann ich die Methode denn dafür trotzdem anwenden?

09.07.2009, 19:33

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Ich denke nicht, dass dein F oben die Bedeutung $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X=x) \end{eqnarray*}$ hat, auch das haut nicht hin. unglücklich

$\begin{eqnarray*} F(x) = e^{-ax} \end{eqnarray*}$ macht nur in der Bedeutung $\begin{eqnarray*} F(x) = P(X\geq x) \end{eqnarray*}$ Sinn.

09.07.2009, 19:48

maddinac

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Zitat:

Ich denke nicht, dass dein F oben die Bedeutung $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X=x) \end{eqnarray*}$

Vielleicht verstehe ich dich falsch. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es so ist.

In meinem Problem habe ich Distanzen gegeben. Dies ist das x. Und in Abhängigkeit von der Distanz soll ein Ereignis eintreten. Und die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt ist. $\begin{eqnarray*} P(x)=e^{-a\cdot x} \end{eqnarray*}$

09.07.2009, 19:50

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Und für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll das gelten? Für ganzzahlige, oder für welche anderen?

P.S.: Mit dem "ziemlich" ist ein Anfang gemacht - bald bricht die Sicherheit vollständig ein. Augenzwinkern

09.07.2009, 20:05

maddinac

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Ja die Sicherheit die da war hast du mir schon genommen. verwirrt

Es soll gelten für reelwertige $\begin{eqnarray*} x, x>0 \end{eqnarray*}$

09.07.2009, 20:37

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Das geht schon mal gar nicht: Eine diskrete Verteilung mit positiven Werten $\begin{eqnarray*} P(X=x) \end{eqnarray*}$ existiert nur auf einer abzählbaren Menge. unglücklich

Erkundige dich nochmal genau, denn so geht's nicht weiter. Nochmal, nach allen bisherigen Angaben ist

$\begin{eqnarray*} e^{-ax} = P(X\geq x) \end{eqnarray*}$

die einzig plausible Variante. Das gehört dann zur Exponentialverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

09.07.2009, 20:51

maddinac

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Zitat:

Das geht schon mal gar nicht: Eine diskrete Verteilung mit positiven Werten $\begin{eqnarray*} P(X=x) \end{eqnarray*}$ existiert nur auf einer abzählbaren Menge.

Ich möchte keine diskrete Verteilung, sondern eine stetige.

09.07.2009, 20:55

maddinac

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Um nochmal klarzumachen was mein Ziel ist:
Ich möchte mit der Inversionsmethode ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erzeugen wobei $\begin{eqnarray*} P(x)=e^-ax \end{eqnarray*}$ ist.

09.07.2009, 21:47

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Zitat:

Original von maddinac
Um nochmal klarzumachen was mein Ziel ist:
Ich möchte mit der Inversionsmethode ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erzeugen wobei $\begin{eqnarray*} P(x)=e^-ax \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, danke - hältst mich wohl für sehr blöd, was? Forum Kloppe

Du hast von einer diskreten Verteilung gesprochen, erinnerst dich wohl nicht mehr:

Zitat:

Original von maddinac
Mein F soll keine Verteilungsfunktion sein, sonder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
D.h. $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X=x) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ meine Zufallsvariable ist.

Wenn bei dir die Grundlagen so wacklig sind, wie du offenbart hast, dann solltest du dir auch mal was sagen lassen, statt auf deine wirren, falschen Annahmen weiterhin zu beharren. Bis dahin: Auf Wiedersehen. Wink

09.07.2009, 23:10

maddinac

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Zitat:

Zitat: Original von maddinac Um nochmal klarzumachen was mein Ziel ist: Ich möchte mit der Inversionsmethode ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erzeugen wobei $\begin{eqnarray*} P(x)=e^-ax \end{eqnarray*}$ ist. Ja, danke - hältst mich wohl für sehr blöd, was?

Nein, tut mir leid, dass das den Eindruck gemacht hast, aber wie du ja schon selber sagst, scheinen mir da wirklich die Grundlagen zu fehlen. So dass ich das Problem anscheinend nicht ganz verstehe.

Ich kann ja mal versuchen in das Buch meiner Wahl zu schauen um das etwas aufzufrischen, vllt versteht ich dann was du meinst.

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