Eigenvektoren zu einer Matrix (update)

09.07.2009, 18:02

mathe+-

Eigenvektoren zu einer Matrix (update)

Hallo!
Mein problem bezieht sich auf die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich finde nicht die richtigen Eigenvektor dafür. ich habe zunächst aus der ersten und dritten Zeile eine Nullzeile gemacht. Nun habe ich v3 = a und v4 = b genannt. Daraus folg für v1 = a - b und für v2=v1= a - b

Daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} a * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} +<br /> b * \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} +<br /> \end{eqnarray*}$

Lösung ist:

Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(-1; -1; 1; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(1; 1; 0; 1)
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(0; 0; 0; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(0; 0; 0; 0)

09.07.2009, 18:19

tigerbine

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RE: Eigenvektoren zu einer Matrix
Wie lautet denn nun die Eigentliche Matrix? Und die kannst du doch nicht einfach verändern...

09.07.2009, 19:33

mathe+-

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RE: Eigenvektoren zu einer Matrix
Die eigentliche Matrix habe ich mit dem Eigenwert 2 subtrahiert. Das habe ich auch korrekt gemacht, nur danach läuft irgendwas schief....?!

09.07.2009, 19:48

tigerbine

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RE: Eigenvektoren zu einer Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix hat nur den Eigenwert 0.

09.07.2009, 19:56

mathe+-

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RE: Eigenvektoren zu einer Matrix
Stimmt, hast du recht, ich habe danach noch umgeformt. Aber die ursprüngliche Matrix ist auch eigentlich egal, weil davor richtig gerechnet wurde. Aber hier ist die Ursprungsmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 5 & -3 \\ 4 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.07.2009, 20:11

tigerbine

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RE: Eigenvektoren zu einer Matrix
Es nervt schon, wenn nicht gleich die richtige Angabe eingestellt wird... Also hier haben wir den 4fachen EW 2. Nun eben der Ansatz

$\begin{eqnarray*} Av=2v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 5 & -3 \\ 4 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & -3 \\ 4 & -1 & 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses homogene LGS ist nun zu Lösen. Die Matrix hat den Rang 2. Das macht man einfach mit dem Gaussalgorithmus.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
53:

Durchgang 1 
===========
 
pivot = 1 
 
Zeile 2 - 1 * Zeile 1 
 
Zeile 3 - 3 * Zeile 1 
 
Zeile 4 - 4 * Zeile 1 
 
A =
     1    -1     0     0
     0     0     0     0
     0     3     3    -3
     0     3     3    -3
b =
     0
     0
     0
     0
 
Durchgang 2 
===========
 
pivot = 0 
Zeilenvertauschung nötig!
Tausche Zeile 2 und 4 
A =
     1    -1     0     0
     0     3     3    -3
     0     3     3    -3
     0     0     0     0
b =
     0
     0
     0
     0
 
Zeile 3 - 3 * Zeile 2 
 
Zeile 4 - 0 * Zeile 2 
 
A =
     1    -1     0     0
     0     1     1    -1
     0     0     0     0
     0     0     0     0
b =
     0
     0
     0
     0

D.h. v3 und v4 sind frei wählbar. Es ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} v=(-s+t,-s+t,s,t)^T = s \cdot (-1,-1,1,0)^T + t \cdot(1,1,0,1)^T \end{eqnarray*}$

09.07.2009, 20:36

mathe+-

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RE: Eigenvektoren zu einer Matrix (update)
Ne, ich bin einfach übermüdet. Mein Fehler war, dass ich für v1= a-b statt -a+b rausbekommen habe...aber darauf hat mich deine Lösung irgendwie gebracht, also danke Augenzwinkern

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