Lösung /komplexe Gleichung

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10.07.2009, 12:50	Anatoli	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung /komplexe Gleichung Hallo, ich habe probleme bei dieser klausuraufgabe: z^3 = - 2i , mit i = sqrt(-1) und z € C. ich bekomm da doch z = $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-2 * i} = \sqrt[3]{2} * \sqrt[3]{-i} \end{eqnarray}$ und jetzt muss ich doch versuchen diese $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-i} \end{eqnarray*}$ als e hoch ... darzustellen aber wie gehe ich da vor? gruß Ana
10.07.2009, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Polynom $\begin{eqnarray} z^3+2i=0 \end{eqnarray}$ hat wie jedes komplexe Polynom 3.Grades genau drei Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Der Betrag dieser Nullstellen dürfte $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ sein, denn die komplexe Multiplikation multipliziert Beträge, und der Betrag von $\begin{eqnarray} -2i \end{eqnarray}$ ist offenbar $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Weil die komplexe Multiplikation $\begin{eqnarray} e^{i \varphi} \cdot e^{i \psi} \end{eqnarray}$ die Argumente $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ addiert, machst du dir eine Skizze mit Einheitskreis, Einheitswurzeln und der Zahl $\begin{eqnarray} -2i \end{eqnarray}$ , und probierst ein bißchen bis es passt. (Tipp : $\begin{eqnarray} i^3=-i \end{eqnarray}$ )
10.07.2009, 17:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, -i besitzt den Winkel $\begin{eqnarray} \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray}$ . Dieser muss durch 3 geteilt werden. Einen Umlauf - salopp gesprochen - machen wir mittels der ebenfalls durch 3 geteilten Periodenlänge ( $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ ) und schwupps, schon haben wir die drei Lösungen ... mY+
10.07.2009, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau . Wie immer bei solchen Rechnungen mit Polynomen dritten Grades benutze man die dritten Einheitswurzeln $\begin{eqnarray} 1, \rho=e^{\frac 2 3 \pi i}, \rho^2=e^{\frac 4 3 \pi i}, \end{eqnarray}$ .
10.07.2009, 19:50	Anatoli	Auf diesen Beitrag antworten »
ok gut ich denke ich habs hinbekommen ich habs in die gleichung eingesetzt und es gab keinen widerspruch... @ elvis die 1 kann doch keine lsg der gleichung sein odeR?
10.07.2009, 22:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, natürlich nicht. Elvis hat beispielhaft (so denke ich, denn sonst wäre es eine Komplettlösung geworden) die Einheitswurzeln aus 1 angegeben. Du musst das Gleiche machen, aber von -i ausgehend. mY+
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11.07.2009, 11:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Anatoli wir haben dir jetzt mehr als genug Hinweise gegeben um diese kleine Aufgabe zu lösen. Es wäre sehr freundlich von dir, wenn du jetzt die drei Lösungen sauber aufschreibst, damit wir uns anderen wichtigen Dingen widmen können.
12.07.2009, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, ich wollte kein Komplettlösung angeben.
12.07.2009, 13:40	Anatoli	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich möchte meinen teil dazu beitragen. ich habe: Zk = $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} e^{i * \frac{ \frac{3* \pi }{2} +2 * \pi * k }{3}} \end{eqnarray*}$ für k = 0,1,2 gruß Ana
12.07.2009, 14:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\frac{3 \pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ! Somit wird der Winkel besser als $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} + k \cdot \frac{2 \pi}{3} \end{eqnarray}$ geschrieben. mY+
12.07.2009, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Es ist auch üblich, die drei Nullstellen so zu schreiben: $\begin{eqnarray} \sqrt [3]{2}\cdot i, \sqrt [3]{2}\cdot i\cdot\rho, \sqrt [3]{2}\cdot i\cdot\rho^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i=\sqrt -1, \rho=e^{\frac 2 3 \pi i} \end{eqnarray}$ Geometrisch ist das ein gleichseitiges Dreieck mit einer Spitze "oben" bei $\begin{eqnarray} \sqrt [3]{2}\cdot i \end{eqnarray}$ , und die beiden anderen Punkte liegen "unten" "waagerecht".
12.07.2009, 19:21	Anatoli	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für eure hilfe , die antworten haben sehr zum verständnis beigetragen

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