beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung

10.07.2009, 13:48

sunsmile

beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung

Hallo Leute!
Ich hab hier die folgende Aufgabe und meine Lösung, wäre nett, wenn mal jemand sagen könnte, ob das wasserdicht ist. Danke!

Zu zeigen: Sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ :V->V ein Endomorphismus und $\begin{eqnarray*} 1\leq k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so ist x auch Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \phi^{k} \end{eqnarray*}$ zum Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \lambda^{k} \end{eqnarray*}$ !

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A\times x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \in M(n;K) \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .
Dann ist nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\times x=\lambda\times x. \end{eqnarray*}$
Angenommen $\begin{eqnarray*} \phi^{k}(x_1)=A^{k}\times x_1 =\lambda \times x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq x_1 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} A\times A^{k-1}\times x_1 = \lambda^{k}\times x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} &\Leftrightarrow A\times x_1 = \lambda^{k}\times x_1 \times (A^{k-1})^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} A \times x \neq A\times x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\times x \neq \lambda^{k}\times x_1 \times (A^{k-1})^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \times A^{k-1}\times x \neq \lambda^{k}\times x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{k}\times x \neq \lambda^{k}\times x_1 \end{eqnarray*}$
Und das ist ein Widerspruch, denn das ist gleich und es muss $\begin{eqnarray*} x=x_1 \end{eqnarray*}$ sein.
Das ist halt der Punkt wo es hakt.Aber es muss doch gleich sein oder nicht?

10.07.2009, 13:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Das liest sich optisch sehr schlecht. Was bedeutet denn, dass x ein Eigenvektor zu einem EW ist?

$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\lambda x \end{eqnarray*}$

Was bedeutet die Potenz bei der Funktion? Die Hintereinanderausführung der Abbildung.

$\begin{eqnarray*} \phi^2(x)=\phi \left( \phi(x) \right) = \phi(\lambda x) = \lambda \phi(x)=\lambda \cdot \lambda x = \lambda^2(x) \end{eqnarray*}$

Das Spielchen kann man nun ja wiederholen... Matrizen braucht man da nicht einführen. Es wird nur benutzt, dass die Abbildung linear ist und dass x ein EV ist.

10.07.2009, 14:05

sunsmile

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort.

Zitat:

Was bedeutet denn, dass x ein Eigenvektor zu einem EW ist?

$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\lambda x \end{eqnarray*}$
Was bedeutet die Potenz bei der Funktion? Die Hintereinanderausführung der Abbildung.

$\begin{eqnarray*} \phi^2(x)=\phi \left( \phi(x) \right) = \phi(\lambda x) = \lambda \phi(x)=\lambda \cdot \lambda x = \lambda^2(x) \end{eqnarray*}$

Ja genau das soll das bedeuten.
Na mir stellt sich nur die Frage, ob das damit wirklich bewiesen ist oder eher das der Eigenwert sich sozusagen mitverändert.

10.07.2009, 14:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Was ist denn an meinem Beweis so unklar? Wo soll sich da was verändern? Da treten nun Potenzen auf...

Und allgemein dann eben eine Induktion machen. Den IA habe ich dir ja schon hingeschrieben. Im Grunde ist ja für k=1 die EV Definition schon der IA.

10.07.2009, 14:13

sunsmile

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Mein Problem ist halt, dass das dann genau der selbe Beweis wie zu folgender Aufgabe wäre:
Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ Eigenwert zu $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \lambda^{k} \end{eqnarray*}$ Eigenwert zu $\begin{eqnarray*} \phi^{k} \end{eqnarray*}$ .

10.07.2009, 14:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Naja, etwas hängen die ja auch zusammen. Augenzwinkern

Aktuell gilt es zu bestätigen, dass wenn gilt

$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\lambda \cdot x \end{eqnarray*}$

Dass dann auch gilt

$\begin{eqnarray*} \phi^k(x)=(\lambda^k) \cdot x \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dann ein ein EV von $\begin{eqnarray*} \phi^k \end{eqnarray*}$ . Das kann man so zeigen wie ich es gemacht habe.

Legt man sein Augenmerk auf den EW, so kann man den Beweis ebenfalls verwenden, dann man ja einen EV gefunden. Die Gleichung besagt so noch nicht, dass dies der einzige EV zu dem EW ist. Aber danach ist auch gar nicht gefragt worden.

Interessanter ist imho die Rückrichtung. Also folgt aus

$\begin{eqnarray*} \phi^k(x)=(\lambda^k) \cdot x \end{eqnarray*}$

auch

$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\lambda \cdot x \end{eqnarray*}$ ?

10.07.2009, 14:28

sunsmile

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Ok.Danke für deine Geduld.
Aber eine Frage hab ich noch!
Ist mein Beweis dann falsch?

10.07.2009, 14:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Ich sagte schon, dass liest sich...

Zitat:

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A\times x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \in M(n;K) \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Dann ist nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\times x=\lambda\times x. \end{eqnarray*}$

Matrix unnötig. $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ nicht als Verknüpfung nehmen. Mal oder am Besten gar nichts.

Angenommen $\begin{eqnarray*} \phi^{k}(x_1)=A^{k}\times x_1 =\lambda \times x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq x_1 \end{eqnarray*}$ .

Warum hier einen Widerspruchsanfang? Damit zeigst du nicht, dass x die Forderung erfüllt. Und wo ist bei dem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Potenz geblieben?

10.07.2009, 14:44

sunsmile

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Ups.Ja das ist ein Schreibfehler.Das soll schon heißen:

$\begin{eqnarray*} \phi^{k}(x_1)=A^{k}x_1=\lambda^{k}x_1 \end{eqnarray*}$

Ich will ja zeigen, dass es dann doch wieder x ist und es keinen anderen Eigenvektor für

$\begin{eqnarray*} \phi^{k} \end{eqnarray*}$

geben kann.

10.07.2009, 14:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung
Du musst zeigen, dass x es erfüllt. Nicht dass nur x es erfüllt.

Neue Frage »

Antworten »

beweis zu eigenvektoren/charakteristische Gleichung

Verwandte Themen