Diedergruppe

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donvito Auf diesen Beitrag antworten »
Diedergruppe
Hallo Leute,

ich bin etwas unsicher, da ich verschiedene Informationen gefunden habe. Ich soll die Ordnung der Elemente der Symetriegruppe der Drehungen und Spiegelungen feststellen. Das ist ja wohl gleichzeitig die Diedergruppe?

Jetzt meine Frage: Die Elemente der Gruppe, sind das die Graphen oder die Operationen (Drehen um 90 Grad, Spiegeln an 4 Achsen).

Mir ist nämlich die Ordnung irgendwie zu einfach, beim Spiegeln habe ich nämlich immer Ordnung 1, da ich ja immer nochmal an der gleichen Achse spiegeln kann und dann wieder das neutrale Element erhalte. Beim drehen habe ich dann immer eine Zahl zwischen 1 und 3...

Also ich vermute da liegt ein Verständnisfehler vor... wäre nett, wenn mir da jmd auf die Sprünge helfen kann :-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente sind die Operationen, eine Spiegelung hat _nicht_ Ordnung 1, les bitte den Begriff der Ordnung nochmal nach.

Wichtig ist, die Symmetriegruppe von WAS?
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

von einem regelmäßigen Viereck.

Also dann besteht meine Gruppe jetzt doch aus den Elementen
drehen um 90°, 4 Spiegelungen und dem Element id, also 6 Elemente, oder?

Also ich denke schon, dass mir die Ordnung klar ist.

Die Ordnung ist die minimale Anzahl Operationen, die ich brauche um aus einem Element wieder das neutrale Element zu machen. Das neutrale Element ist ja in diesem Fall die Drehung um 0°
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Drehen um 180 und 270 Grad darf man nicht? Augenzwinkern
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, aber ich dachte das wäre bei 90° dabei. Einfach 2 bzw. 3x drehen Big Laugh

Also angenommen ich habe einmal um 90° gedreht, dann muss ich, um das neutrale Element wieder zu erhalten nochmal um 270° drehen, demnach wäre die Ordnung des Elements 90° dann 1...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Also Ordnung 1 hat nur die Identität. Deine Definition von Ordnung ist falsch, lies sie doch mal nach smile
 
 
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe jetzt folgendes rausbekommen:
Die Spiegelungen haben alle Ordnung 2, die Drehung um 18° logischerweise auch und die beiden anderen Drehungen haben Ordnung 4.

Beim regelmäßigen Fünfeck sieht es so aus, dass die fünf Spiegelungen Ordnung 2 haben und die vier Drehungen Ordnung 5. Stimmt das so?

Jetzt noch ne Frage: Wie kann eine Untergruppe mehr Elemente haben als die Gruppe? Auf unserem Blatt steht nämlich als Hinweis, dass 10 Untergruppen hat und nur 8. Das finde ich etwas merkwürdig. unglücklich Denke das wird wohl ein Zahlendreher sein, oder? Denn andersrum würde es ja genau passen Big Laugh
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ordnungen stimmen jetzt.

Eine Untergruppe hat nie mehr Elemente als die Gruppe, aber das wolltest du nicht wissen sondern hast du wohl falsch formuliert.

Die D4 hat 10 Untergruppen und D5 hat 8. Das stimmt soweit, rechne es einmal nach.
Tim_stuttgart Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hätte direkt im Anschluss mal eine kurze Frage zur Rechnerei in der Diedergruppe:

Sei G= D_8 gegeben als <x,y> mit x^2=y^4=1 und xyx=y^(-1)

In der Gruppenalgebra soll nun das Produkt ab von a=1+x+y und b=(y^2)x-yx berechnet werden.

Was ich genau meine seht ihr hier: http://www.minet.uni-jena.de/algebra/ueb...ebra2_ul_13.pdf

Also auf Seite 4 die Aufgabe 4c.

Die Lösung verstehe ich nicht ganz. Wieso wird da mit einem anderen a begonnen als angegeben und wenn man das ausmultipliziert fehlt doch beispielsweise direkt ein sigma.

Entweder ich habe das System nicht verstanden oder die Lösung ist fehlerhaft.
Bitte um Aufklärung, wäre sehr nett traurig
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung ist meines Erachtens schlicht falsch.
Tim_stuttgart Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann bin ich ja etwas beruhigt.
Allerdings komme ich auch auf keine "schöne" Lösung, kann das sein?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

falls ich mich nicht verrechnet habe

PS: nächstes mal gönn dir ein eigenes Thema
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
kiste ist wohl nach dem ersten Gleichheitszeichen ein Vorzeichenfehler passiert:
Es ist
.
Tim_stuttgart Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mit dem Ausklammern sollte so richtig sein. Aber wie kommt ihr dann weiter, z.B. auf das y^2? Müsste doch wenn eigentlich y^-2 sein, oder?
Hatte gehofft, dass Endergebnis würde aus weniger als 4 Summanden bestehen und es würde eine Variable wegfallen oder sowas...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist y^-2 = y^2 da y Ordnung 4 hat.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Quadratzahl-Jan
Hi!
kiste ist wohl nach dem ersten Gleichheitszeichen ein Vorzeichenfehler passiert:
Es ist
.


... und dir ein Variablendreher. Es scheint schon recht schwierig zu sein, zwei Klammern mit drei bzw. zwei Summanden korrekt auszumultiplizieren. Deswegen versuche ich es selbst erst gar nicht. Ich bin einmal gespannt, wie viele Versuche wir bei dieser Aufgabe noch sehen, bis sie endlich richtig dasteht.
Welche Schäden für die Menschheit durch "Leichtsinnsfehler" entstehen können, dazu kann man hier ein bißchen blättern.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nochmal auf einem gutem alten Blatt Papier nachgerechnet und Jans Endergebnis stimmt auch wenn ich es eher als
schreiben würde damit alle y vor den x stehen. Aber das ist natürlich Geschmackssache. Es ist natürlich
Tim_stuttgart Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, Danke, Soweit kann ich folgen. Und da kommt man jetzt nicht mehr weiter, indem man die Identitäten einbaut oder eine "Eins" reinschummelt? Es gilt ja beispielsweise: xyxy=1

Ich habe alles mögliche versucht, aber bekomme irgendwie keine einfachere Lösung hin traurig
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das sind nämlich bereits alles verschiedene Elemente in der Diedergruppe. Wegen der Definition der Gruppenalgebra lässt sich dies also nicht mehr vereinfachen.
Tim_stuttgart Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Da hätte ich mir viel Arbeit ersparen können.

Danke nochmal und Schönen Sonntrag noch!
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Schon bitter, dass man nicht mehr sauber vom Blatt abschreiben kann.
Sorry für den Vertipper, aber hat ja Gott sei Dank nicht so verheerende Folgen gehabt smile
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