Integral

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10.07.2009, 21:32	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Sei $\begin{eqnarray} f(x,y):=\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q:=[0,1]\times [0,1] \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int_{Q}^{}~f(x,y)~dV_2 \end{eqnarray}$ . Ich würde versuchen das Integral mit Fubini zu berechnen. Zuvor muss ich allerdings die Existenz des Integrals begründen. Dazu gehe ich wie folgt vor: Sei $\begin{eqnarray} \varphi_n(x):=\begin{cases} 0 & \text{auf } D_n:=[0,\frac{1}{n})\times [0,\frac{1}{n})\\ \frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} & \text{auf } Q\setminus D_n\end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi\geq 0 \end{eqnarray}$ ist messbar und auf $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt. Es gilt: $\begin{eqnarray} \varphi_{n+1}(x,y)-\varphi_n(x,y)=\begin{cases} \frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} & \text{auf } D_n\setminus D_{n+1}\\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \varphi_n \end{eqnarray}$ ist monoton wachsend und konvergiert gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Es ist: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\varphi_n~d\mu_2 =\int_{Q\setminus D_n}^{}~\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}~d\mu_2 =\int_{0}^{\frac{1}{n}}~\left(\int_{\frac{1}{n}}^{1}~\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}~dy\right)~dx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}~\left(\int_{0}^{1}~\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}~dy\right)~dx \end{eqnarray}$ Ist das bis hierhin richtig? Danke
11.07.2009, 00:11	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz, warum das ganze. Die vorliegende Funktion ist offensichtlich stetig, und zwar auf einem Kompaktum. Somit ist sie erst recht messbar und beschränkt auf einer beschränkten Menge, folglich integrierbar. Widme dich lieber der eigentlichen Berechnung...
11.07.2009, 00:38	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Die eigentliche Rechnung beginnt ja hier: Es ist: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\varphi_n~d\mu_2 =\int_{Q\setminus D_n}^{}~\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}~d\mu_2 =\int_{0}^{\frac{1}{n}}~\left(\int_{\frac{1}{n}}^{1}~\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}~dy\right)~dx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}~\left(\int_{0}^{1}~\frac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}~dy\right)~dx \end{eqnarray}$ Ist der Ansatz den richtig? Nachdem ich das Integral bestimme kann ich ja n gegen unendlich laufen lassen. Oder wie wäre dein Ansatz zur Rechnung?
11.07.2009, 10:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie scheinst du das Integral für uneigentlich zu halten. Oder du verwendest Techniken der Lebesgueschen Integrationstheorie, die zum Beweis allgemeiner Zusammenhänge erforderlich, hier im konkreten Fall aber völlig unangemessen sind. Du kannst Fubini direkt anwenden. Es empfiehlt sich, zuerst die Integration über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ vorzunehmen, weil man dazu leicht eine Stammfunktion angeben kann: $\begin{eqnarray} \int_Q f(x,y)~\dd (x,y) = \int_0^1 \frac{1}{2} \left( \int_0^1 \frac{2y}{\left( 1 + x^2 + y^2 \right)^{\frac{3}{2}}}~\dd y \right)~\dd x \end{eqnarray}$ Zur Kontrolle mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \ln 2 + \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) - \ln \left( 1 + \sqrt{3} \right) \end{eqnarray}$
11.07.2009, 19:59	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme so weit. Es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( \int_0^1 \frac{2y}{\left( 1 + x^2 + y^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\right)~dy=\left[\frac{-1}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\right]_{0}^{1}=\frac{-1}{\sqrt{2+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich das Ergebnis nach x integrieren aber ich wüsste nicht wie. Kannst du mir sagen wie du hier vorgegangen bist? Danke
11.07.2009, 20:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{1}{\sqrt{2 + x^2}} \right)~\dd x = \int_{\sqrt{\frac{1}{2}}}^{1} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{eqnarray}$ Um das zu zeigen, mußt du nur die Differenz aufspalten und im Subtrahenden $\begin{eqnarray} x = \sqrt{2} \, t \end{eqnarray}$ substituieren. Und das verbleibende Integral findest du in jeder Formelsammlung. Oder rechne wie hier.
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11.07.2009, 21:14	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme folgendes raus: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{1}{\sqrt{2 + x^2}} \right)~\dd x =\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}~\dd x-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2 + x^2}}~\dd x \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}=[arsinh(x)]_{0}^{1}=[\ln(x+\sqrt{1+x^2}]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ Nun zum nächsten Integral: Substitutiere ich so wie du es mir vorgeschrieben hast erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int_0^1\frac{1}{\sqrt{2 + x^2}} ~\dd x=\int \frac{1}{\sqrt{2 + 2t^2}\cdot\sqrt{2}} ~\dd t=\int \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}\cdot\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} ~\dd t=\frac{1}{2}\left[arsinh\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\left[\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{x^2}{2}+1}\right)\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ Da muss dann wohl was falsch laufen, weil mein Ergebnis ist folgendes: $\begin{eqnarray} \ln(1+\sqrt{2})-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray}$ Was mache ich noch falsch? Vielen dank
11.07.2009, 21:23	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel(2) kommt nach beim Substituieren in den Zähler!
11.07.2009, 21:32	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, dann ist: $\begin{eqnarray} \int_0^1\frac{1}{\sqrt{2 + x^2}} ~\dd x=\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 2t^2}} ~\dd t=\int \frac{\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{1 + t^2}\cdot\sqrt{2}} ~\dd t=\left[arsinh\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]_{0}^{1}=\left[\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{x^2}{2}+1}\right)\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ Mein Ergebnis wäre dann: $\begin{eqnarray} \ln(1+\sqrt{2})-\ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)=\ln(1+\sqrt{2})-\ln(1+\sqrt{3})+\ln(\sqrt{2})=\ln(1+\sqrt{2})-\ln(1+\sqrt{3})+\frac{1}{2}\ln(2) \end{eqnarray}$ Komme jetzt auf das Ergebnis von Leopold. Sind meine Umformungen bezüglich der Logarithmusregeln überhaupt richtig? Danke

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