Betragsfunktionen ableiten/integrieren

11.07.2009, 14:23

maucks

Betragsfunktionen ableiten/integrieren

Hey,
ich geh grad paar Übungsaufgaben nach und stoß da immer wieder auf Ableitungen und Integrationen von Betragsfunktionen. Soweit ich mich erinnern kann, haben wir dazu nichts ind er Vorlesung gemacht. Doch würd ichs aus Interesse gern wissen und auch für alle Fälle. Derzeit hab ich an folgendem Integral Probleme.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~x~| x-1 |~dx \end{eqnarray*}$

Ich dachte, dass man bei der Integration dann mit der Signum-Funktion arbeitet und sie an der Knickstelle des Betrages anwendet. Aber so richtig komme ich nicht auf den Wert 1, der da rauskommen soll.
Meine Frage ist daher, wie im einzelnen sowas zu integrieren wäre. Ich habs partiell probiert und weiß aber nicht, wie und ob ich die Signum Funktion nutzen muss.
Vielen Dank schonmal. :-)

Grüße
Torsten

11.07.2009, 14:33

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Zitat:

Original von maucks
Ich dachte, dass man bei der Integration dann mit der Signum-Funktion arbeitet und sie an der Knickstelle des Betrages anwendet.

Vergiss es, derartige Spekulationen gehen in der Regel schief. Halte dich an das, was du sicher weißt:

$\begin{eqnarray*} |x-1| = \begin{cases} x-1 & \;\mbox{für}\; x\geq 1 \\ -(x-1) = 1-x & \;\mbox{für}\; x < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Um das anwenden zu können, musst du den Integrationsbereich entsprechend aufteilen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2 ~ x~| x-1| ~ \dd x = \int\limits_0^1 ~ x~| x-1| ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^2 ~ x~| x-1| ~ \dd x = \int\limits_0^1 ~ x(1-x) ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^2 ~ x(x-1) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

11.07.2009, 14:45

Leopold

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Du kannst für den Integranden eine Fallunterscheidung durchführen und den Betrag auflösen. Du mußt dann das Integrationsintervall entsprechend zerlegen.
Du kommst aber auch mit der Regel

$\begin{eqnarray*} \int |t|~\dd t = \frac{1}{2} t \, |t| \end{eqnarray*}$

ans Ziel. Zunächst wird $\begin{eqnarray*} x = t+1 \end{eqnarray*}$ substituiert, dann zerlegt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 x \, |x-1|~\dd x = \int_{-1}^1 (t+1) \, |t|~\dd t = \int_{-1}^1 t \, |t|~\dd t + \int_{-1}^1 |t|~\dd t \end{eqnarray*}$

Den Wert des ersten Integrals kannst du ohne jede Rechnung sofort angeben, wenn du eine charakteristische Symmetrieeigenschaft des Integranden bemerkst. Und das zweite Integral löst du mit der angegebenen Formel oder auch mit Symmetrie.

Du solltest auf jeden Fall aber auch die Lösung mittels Fallunterscheidung üben, von der ich zuerst gesprochen habe (und die, wie ich gerade bemerke, Arthur schon näher ausgeführt hat). Denn mit diesem Standardwerkzeug kriegt man die Beträge immer weg, während der von mir vorgeschlagene Weg speziell nur zur vorliegenden Aufgabe paßt.

11.07.2009, 15:17

maucks

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Danke euch.
Ist die Fallunterscheidung denn auch ohne Weiteres bei unbestimmten Integralen durchführbar? Denn dort kann man ja keine Grenzen beachten? Oder doch?
In einer Lösung zu
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ | x^{3} |~dx \end{eqnarray*}$
Hab ich als Ergebnis mal sowas gesehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}~sgn(x)~|x|^{4}~dx \end{eqnarray*}$

Daher kam ich auf die Sache mit der Signum Funktion.
Wie geht man dann also an unbestimmte Integrale der Form ran?

11.07.2009, 15:40

WebFritzi

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So, wie du es oben auch gemacht hast. Man findet auf jedem Abschnitt eine Stammfunktion und versucht, diese dann mit einem einzigen Ausdruck zusammenzufügen. Beim Betrag hilft da eben die (unstetige) Signum-Funktion.

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