wie zeigt man vollständigkeit?

11.07.2009, 19:39

wurzel88

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wie zeigt man vollständigkeit?

hallo!!!
ich hab ein großes problem mit dem begriff der vollständigkeit von metrischen räumen...mir is zwar klar das ein raum vollständig is wenn jede cauchy folge konvergiert und einen grenzwert in der menge besizt, aber wenn es darum geht zu zeigen ob ein raum vollständig ist oder nicht hab ich keine ahnung wo ich anfangen soll...
vielleicht kann mir jemand anhand des folgenden beispiels erklären wie man anfangen muss und was genau man zeigen soll...

wir betrachten den normieren vektorraum aller stetigen funktionen
$\begin{eqnarray*} c^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ versehen mit der norm: norm(f)= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} f \end{eqnarray*}$
(wobei f im betrag steht)
ich soll nun zeigen das der raum bezüglich dieser norm nich vollständig ist...
ich würde mir jetzt zuerst ein bel. cauchy folge wählen für die dann nach definition gilt:
norm(fn-fm)<e....also: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} (fn-fm)<e \end{eqnarray*}$
f.a. n,m >N aus den natürlichen zahlen...
das heißt doch aber eigentlich schon das fn konvergiert oder?...ich meine wenn es f.a. m,n>N gilt dann doch auch lim fm wobei m -> unendlich läuft...

ist mein ansatz bis hierhin den richtig?oder hab ich schon einen denkfehler?
und wie geh ich jetzt vor wenn ich zeigen will das der grenzewert in der menge liegt?

das es sich hier um den raum aller stetigen fkt. handelt müsste ich zeigen das fn gleichmäßig gegen ein f konvergiert aber ich hab leider keine ahnung wie ich hierbei vorgehn muss...

ich hoffe mir kann jemand von euch helfen
lg wurzel

11.07.2009, 19:48

tmo

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Du willst doch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} C^0[0,1] \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} \|f\|= \int_0^1|f(x)|dx \end{eqnarray*}$ nicht vollständig ist.

Dazu musst du dir einfach nur eine Folge von Funktionen aus diesem Raum suchen, welche eine Cauchy-Folge ist, aber nicht in diesem Raum konvergiert.

Vorzugsweise also eine Funktionenfolge, die gegen eine nicht stetige Funktion konvergiert.

11.07.2009, 20:02

wurzel88

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ok und wie find ich sowas?
ich würde jetzt so vorgehn das ich mir erst eine unstetige fkt suche z.b $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und dazu eine folge basteln...
aber wie kann ich mir jetzt den folge bastel die stetig is? ich finde irgenwie immer nur welche die auch unstetig sind wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
ok das ist jetzt auch eine der trivialsten...
aber fuunktioniert das über haupt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

11.07.2009, 20:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von wurzel88
aber fuunktioniert das über haupt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, denn der $\begin{eqnarray*} L^1(0,1) \end{eqnarray*}$ (der Raum der über (0,1) integrierbaren Funktionen(-Äquivalenzklassen)) ist ein Banachraum, d.h. vollständig. Angenommen, es gäbe eine Folge stetiger (und damit auch integrierbarer) Funktionen $\begin{eqnarray*} (f_n), \end{eqnarray*}$ die punktweise gegen 1/x konvergiert und gleichzeitig eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} L^1(0,1) \end{eqnarray*}$ ist, dann konvergiert diese in $\begin{eqnarray*} L^1(0,1) \end{eqnarray*}$ gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} g\in L^1(0,1). \end{eqnarray*}$ Nach dem Satz von Riesz-Fischer (so heißt er zumindest im Königsberger, Analysis II) gibt es eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (f_n), \end{eqnarray*}$ welche punktweise gegen g konvergiert. Also ist (fast überall) $\begin{eqnarray*} g(x) = 1/x \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \frac 1 \cdot\in L^1(0,1), \end{eqnarray*}$ was nicht stimmt.

Du musst dir also eine andere Funktionenfolge suchen. Diese könnte einen Grenzwert haben, der integrierbar ist. Denk mal z.B. an einfache Polynome. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2009, 10:39

wurzel88

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ok ich denk das hab ich soweit verstanden...
nur hab ich immer noch probleme mir so eine funktionenfolge zu basteln...
und das nich nur bei dieser aufgabe unglücklich

unglücklich

das die funktion auch integrierbar sein muss schränkt das ganze natürlich ein aber wie sehe ich das der raum der intrierbaren funktionen bezüglich der gegebenen norm vollständig is? verwirrt

verwirrt

ich dachte um vollständigkeit zu zeigen muss man zeigen (also jetzt im fall $\begin{eqnarray*} L^1(0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ ) das jede funktionenfolge glm. gegen ihre grenzfunktion konvergiert...dann ist diese nähmich auch stetig bzw. integrierbar...
aber das würde ja bedeuten das beider räume bezüglich dieser norm vollständig sind was aber der aufgabestellung wiederspricht...
wo liegt hier mein denkfehler?

Zitat:

Original von WebFritzi
Du musst dir also eine andere Funktionenfolge suchen. Diese könnte einen Grenzwert haben, der integrierbar ist. Denk mal z.B. an einfache Polynome. Augenzwinkern

gibt es unstetige polynome? unglücklich

unglücklich

12.07.2009, 11:06

Elvis

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Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to \mathbb R, x \to f(x) \end{eqnarray*}$ sind stetig. Das sagt aber nichts über die Stetigkeit des Grenzwerts einer Folge von Polynomfunktionen.
Mir fällt sofort eine sehr einfache Folge von Polynomen ein, deren Grenzwert nicht stetig ist. (Hinweis: einfacher geht's nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

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12.07.2009, 14:32

wurzel88

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aso...ok ich glaub ich habs...
fn(x)= $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$
die folge ist cauchyfolge bezüglich der angegeben norm aber
sie konvergiert nicht bzw geht gegen unendlich...
is das so korrekt?

12.07.2009, 17:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von wurzel88
aso...ok ich glaub ich habs...
fn(x)= $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$
die folge ist cauchyfolge bezüglich der angegeben norm

Zeig das.

12.07.2009, 18:34

wurzel88

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hab schon gemerkt das es falsch ist ...aber vielleicht kann man ja noch was retten

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^n-x^m~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1} \end{eqnarray*}$
also ist es kleiner als e wenn n und m groß sind

so jetzt is aber mein problem das x^n für x<1 gegen 0 konvergiert und für x=1 gegen 1
und beide sind stetig...
aber fn konvergiert nur punktweiße...bringt mir das irgendwas?

12.07.2009, 18:37

Elvis

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Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(x))=(x^n) \,\, , n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist eine gute Wahl Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt mußt du dir nur noch überlegen, was diese Folge auf dem Intervall [0,1] macht.
Hinweis: Sie konvergiert für jedes $\begin{eqnarray*} x_0\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Preisfrage: Wie sieht die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{n \to \infty} x^n \end{eqnarray*}$ aus ? Insbesondere : Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ stetig ? Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ integrierbar ?

12.07.2009, 19:19

Leopold

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Zitat:

Original von wurzel88
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^n-x^m~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1} \end{eqnarray*}$

Es muß $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \left( x^n - x^m \right)~\dd x = \ldots \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

Original von wurzel88
aber fn konvergiert nur punktweiße...bringt mir das irgendwas?

Und warum konvergieren die schwarzen und roten nicht?

12.07.2009, 19:56

wurzel88

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also für $\begin{eqnarray*} x\in [0,1) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x^{n}= 0 \end{eqnarray*}$
und für x=1 gilt somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x^{n}= 1 \end{eqnarray*}$
also kann ich doch sagen fn konevergiert gegen f mit f(x)=1 für x und f(x)= 0 sonst (auf dem vorgegebenen intervall)
f is aber nicht stetig da für x->1, f(x)=0
stimmt das soweit?

und f ist monoton wachsend auf [0,1] also intergrierbar...(hierfür hatten wir einen satz)

sind die überlegungen richtig???

15.07.2009, 19:07

Elvis

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Fast richtig.

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist unstetig an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} f(x)=0 \ne 1 = f(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{0}~f(x)~dx=0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (schau dir bloß mal die Riemann'schen Obersummen an, da bleibt nicht viel an Fläche übrig Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

15.07.2009, 19:37

WebFritzi

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Das reicht jetzt aber alles noch nicht. wurzel88 muss noch zeigen, dass die Folge in der angegebenen Norm gegen keine stetige Funktion konvergiert.

16.07.2009, 08:06

wurzel88

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ich versteh nicht genau was du meinst webfritzi...
warum reicht es nicht die nicht vorhandene stetigkeit mittels der grenzwerte zu zeigen, wie es auch elvis zuvor gemacht hat???

16.07.2009, 13:53

WebFritzi

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Vielleicht schaust du dir die Definition von Vollständigkeit noch einmal an.

Für ein Gegenbeispiel musst du eine Folge finden, die bezüglich der angegebenen Norm eine CF ist, aber nicht bezüglich der Norm konvergiert. Ganz einfach. Und für deine Folge hast du die Nichtexistenz eines Grenzwertes bzgl. der Norm noch nicht gezeigt.

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