Laurent-Reihe

11.07.2009, 22:08

NixGut

Laurent-Reihe

Hallo,

ich würde gerne einen Ansatz haben wie man folgende Funktion in eine Laurent-reihe entwickeln kann:

(cos(z)+ i*sin(z)) / (z*(z-i)) .

ich dachte da an cos(z) + i*sin(z) = e^(i*z) und dann partialbruchzerlegung aber dann weiß ich leider nicht weiter wär nett wenn ich hier einen tipp bekommen könnte

12.07.2009, 10:00

Leopold

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Die Partialbruchzerlegung für den Nenner ist die richtige Idee. Dann beachte den Standardtrick

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z - \operatorname{i}} = \frac{1}{- \operatorname{i} \left( 1 + \operatorname{i} z \right)} = \frac{\operatorname{i}}{1 + \operatorname{i} z} = \frac{\operatorname{i}}{1 - w} \ \ \text{mit} \ \ w = - \operatorname{i} z \end{eqnarray*}$

geometrische Reihe!

12.07.2009, 11:16

NixGut

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hi,

ja das hab ich hingekriegt aber ich bekomm ja zwei unendliche reihen im Produkt

es gilt ja (1 / ( i *(z - i ) )) * ( e^( i* z)) ich kann bei reihen aufschreiben als produkt aber das ist ja keine laurent-reihe wenn ich die koeffizienten ausmultipliziere erkenne ich kein allgemeines schema:

denn An (Koeff von e^(i * z )) , und Bn (koeff von 1/(i*(z-i)))

gibt : A0=1 A1= i A2=-0.5 A3=-i*(1/6) A4=1/24

und B0 =1 B1= -i B2=-1 B3=i B4=1

ich hab keine ahnung wie ich das produkt zusammenfassen soll.

gruß NG

12.07.2009, 19:23

NixGut

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weiß da niemand einen anderen trick ?

12.07.2009, 20:32

Leopold

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Eine geschlossene Formel findest du da vermutlich nicht. Bilde das Cauchy-Produkt der beiden Reihen (für die Rechnung ist es geschickt, den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ zunächst vor das ganze Produkt zu ziehen, damit du zwei reine Potenzreihen miteinander multiplizieren kannst). Ich habe als Ergebnis

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n=-1}^{\infty} (-\operatorname{i})^n \left( \sum_{\nu=0}^{n+1} \frac{(-1)^{\nu}}{\nu!} \right) \, z^n \, , \ \ 0 < |z| < 1 \end{eqnarray*}$

Und außer daß die Koeffizienten reell-imaginär-vorzeichenwechselnd gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ konvergieren, weiß ich dir keinen Trost.

12.07.2009, 20:37

NixGut

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hm nagut danke trotzdem , ich frag mich warum die klausuren aus den achzigern immer so schwer sind : ) ....

12.07.2009, 20:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von NixGut
hm nagut danke trotzdem , ich frag mich warum die klausuren aus den achzigern immer so schwer sind : ) ....

Weil die Studenten früher im Schnitt besser waren. Ganz einfach.

12.07.2009, 23:26

NixGut

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sagt das einer der alten schule : ) ? ich mach nur spass. aber man merk das ein wenig mehr grips verlangt war. und das turbo abi tut dann auch sein übriges...

13.07.2009, 03:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von NixGut
sagt das einer der alten schule : ) ?

Nicht wirklich. Augenzwinkern

Ich denke, dass das Studium 10 Jahre vor meinem schwerer gewesen sein muss. Aber dabei kommt es natürlich auch auf die Uni bzw. den Prof an.

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