Taylorreihe

11.07.2009, 22:28

Wittgenstein

Taylorreihe

Hallo,

ich versuche mich gerade an Taylorreihen, folgende Aufgabe:

Entwickeln Sie die Funktionen in Taylorreihen um die jeweils gegeben Punkte:

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$

Dazu bin ich wie folgt vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} *(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => f^{(n)}(1)=e^1=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{e}{n!} *(x-1)^n \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{10} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$

Habe wieder versucht, die n-te Ableitung im Punkt 0 zu bestimmen... Allerdings ist die ja immer null, abgesehen von der 10. Ich weiß nicht, wie ich das jetzt als Reihendarstellung schreiben soll. Ist bestimmt ganz einfach, aber ich komm nicht drauf unglücklich

11.07.2009, 22:34

tigerbine

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RE: Taylorreihe
Bei einem Polynom ist es doch ganz einfach. Da ist es nur eine Summe. Man schreibt das Polynom nur anders auf. Also gräme dich nicht. Vergleiche:

[WS] Polynominterpolation - Theorie

11.07.2009, 22:58

Wittgenstein

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Der Link den du gepostest hast, zeigt mir doch nur, wie ein Taylorpolynom aufstellen kann... aber zwischen Taylorpolynom und Taylorreihe ist doch ein Unterschied.

Ich versteh immer noch nicht, wie ich das in meinem Fall als Reihe schreiben soll.

11.07.2009, 23:18

tigerbine

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Dann musst du genauer hinsehen... Die Reihe ist hier nur eine endliche Summe. Wie du es doch auch schon selbst festgestellt hast. Augenzwinkern

Zeig doch mal deine Taylorpolynome. Und multipliziere sie dann aus. Was stellst du fest?

11.07.2009, 23:21

Wittgenstein

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Dann wäre das Taylorpolynom von x^10 zu x_0=0 ja einfach nur x^10 oder?

Und das wäre dann auch die Taylorreihe?

12.07.2009, 00:06

tigerbine

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Manchmal ist es eben einfach. Was passiert, wenn man in einem anderen Punkt entwickelt?

12.07.2009, 11:24

Wittgenstein

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An der Stelle 1 wäre das Taylorpolynom von x^10 dann:

$\begin{eqnarray*} T(x)=1+10*(x-1)^2+45(x-1)^3+120(x-1)^4+\frac{7*8*9*10}{4!} (x-1)^5 * ... * (x-1)^{10} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

12.07.2009, 11:51

tigerbine

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Oi, das sollte nicht zu einer Rechenaufgabe für mich ausarten Big Laugh

Ich mach das mal anders.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_0(x,1)=f(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1(x,1)=f(1) + f'(1)(x-1)= 3x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_2(x,1)=f(1) + f'(1)(x-1) + 0.5f''(1)(x-1)=3x^2-3x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_3(x,1)=f(1) + f'(1)(x-1) + 0.5f''(1)(x-1) + 1/6*6(x-1)^3=x^3 \end{eqnarray*}$

Warum das so ist, und man es nicht nachrechnen braucht, steht in meinem ersten Link. Sieht zwar kompliziert aus, aber was sagt dir denn, dass der Fehler "0" ist. Augenzwinkern

12.07.2009, 12:05

kiste

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Naja das ganze geht ja auch einfach mit dem binomischen Lehrsatz zu lösen:
$\begin{eqnarray*} x^{10} = ((x-1)+1)^{10} \end{eqnarray*}$

12.07.2009, 12:33

Wittgenstein

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Der Fehler ist null, weil man ein Polynom exakt als Taylorreihe darstellen kann oder?

Also bei dir war das Taylorpolynom zu $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ auch wieder $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$
Dann sollte bei mir ja auch wieder x^10 am Ende das Ergebnis sein.
Ich seh aber nicht, warum das so ist...

Wenn ich das ganze mit dem binomischen Lehrsatz aufschreibe ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n=\sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}*y^{k} \end{eqnarray*}$

mit n=10, x=x-1 und y=1 ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{10}~ \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} (x-1)^{10-k}*1^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{10}~ \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} (x-1)^{10-k} \end{eqnarray*}$

Aber auch da seh ich nicht, warum am Ende genau x^10 übrig bleiben sollte

12.07.2009, 12:35

kiste

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Zitat:

Original von Wittgenstein
x=x-1 und y=1 ergibt sich

Aha x=x-1?!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{10}~ \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} (x-1)^{10-k}*1^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{10}~ \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} (x-1)^{10-k} \end{eqnarray*}$

Aber auch da seh ich nicht, warum am Ende genau x^10 übrig bleiben sollte

Das stimmt, es bleibt x^10 übrig weil wir damit angefangen haben! Schau es dir doch genau an

12.07.2009, 12:46

tigerbine

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Der Fehler ist null, weil man ein Polynom exakt als Taylorreihe darstellen kann oder?

Naja so kannst du nicht argumentieren. Denn das eine folgt ja aus dem anderen. Aber es zeigt nicht, dass es gilt. Dafür musst du die elfte Ableitung berechnen.

12.07.2009, 12:49

Wittgenstein

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Achso, ja. Ab der 11. Ableitung sind alle weiteren null

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{10}~ \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} (x-1)^{10-k} \end{eqnarray*}$

ausgeschrieben ergibt das doch:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^{10}+10(x-1)^9+45(x-1)^8+120(x-1)^7+\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} (x-1)^6+\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} +(x-1)^5+\begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix} (x-1)^4+\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix} (x-1)^3+\begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix} (x-1)^2+\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \end{pmatrix} (x-1)+1 \end{eqnarray*}$

Ich seh da einfach nicht, warum am Ende x^10 übrig bleiben soll..

12.07.2009, 12:52

kiste

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Es ist x^10 = (x-1+1)^10 = ((x-1)+1)^10 = die Summe die du hast.

12.07.2009, 12:54

Wittgenstein

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achsoo... gut, dann ist das klar geworden smile

Danke euch für die Hilfe

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