Definition Differenzierbarkeit

12.07.2009, 11:47	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Differenzierbarkeit Hi, ich habe mir letztens folgende Frage gestellt: Für eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt ja: $\begin{eqnarray} f \ differenzierbar \ in \ x_0 \Leftarrow\Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ existiert \end{eqnarray}$ Nun habe ich mich gefragt, ob folgende Analogie für eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f differenzierbar in x_0 \Leftarrow\Rightarrow \lim_{\|\|h\|\| \to 0} \frac{\|\|f(x+h)-f(x)\|\|}{\|\|h\|\|} \ existiert \end{eqnarray}$ Da ich auf diese Definition noch nicht gestoßen bin, nehme ich mal an, dass sie so nicht funktioniert. Wenn sie nicht funktioniert, warum nicht? Wo ist der Unterschied zu einer Funktion einer Veränderlichen? Danke schonmal, plizzz
12.07.2009, 14:00	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition Differenzierbarkeit Teste mal $\begin{eqnarray} f(\chi) = \|\|\chi\|\| \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} \chi_0 = 0 \end{eqnarray}$ aus. Was ergibt sich? Grüße Abakus
12.07.2009, 15:21	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bekomme ich: $\begin{eqnarray} \lim_{\|\|h\|\| \to 0} \frac{\|\|f(x+h)-f(x)\|\|}{\|\|h\|\|} \ = \ \lim_{\|\|h\|\| \to 0} \frac{\|\| \ \|\|h\|\| \ \|\|}{\|\|h\|\|} \ an \ der \ Stelle \ x=0 \end{eqnarray}$ , wobei die äußere Norm die Norm auf dem Bildraum (hier $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) und die innere Norm die Norm auf dem Definitionsbereich (hier $\begin{eqnarray} \mathbb R^n ) \end{eqnarray}$ ist. Jetzt sieht man, dass nach der Definition die Betragsfunktion differenzierbar wäre, was sie ja nicht ist. Das wäre ein Gegenbeispiel, also funktioniert es wohl nicht. Warum genau funktioniert es nicht? Liegt es daran, dass ich durch das Teilen durch die Norm von h nur die Länge berücksichtige, aber nicht, aus welcher Richtung er kommt (in blabla ausgedrückt)?
12.07.2009, 16:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bei dem $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist das nicht so wichtig. Wichtiger ist die Norm im Zähler: Dadurch missachtest du die Richtungen der Funktionswerte. Allerdings ist das nicht das Einzige. Diese Definition leistet so einfach nicht das, was sie soll. Deshalb ist im Mehrdimensionalen eine etwas modifizierte Definition sinnvoll, siehe z.B. Wikipedia. Übrigens hast du die Funktionsvorschrift von Abakus falsch angewandt. Setze noch einmal in deine Formel ein.
12.07.2009, 19:36	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also ist diese Definition nicht zulässig. Das mit der Norm im Zähler macht natürlich mehr Sinn, wobei es natürlich schon ein wenig unsinnig ist, über eine falsche Definition zu grübeln. Wo meinst du, dass ich die Funktionsvorschrift falsch angewandt hätte? Sorry, aber ich sehe es nicht.
12.07.2009, 21:05	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@MSS: Du wiederholst doch genau das, was plizzz gemeint hat. Ich glaube, du hast ihn/sie einfach falsch verstanden. Und die Vorschrift wurde wegen x = 0 auch nicht missachtet.
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