Taylorkoeffizienten

20.09.2006, 00:36	duese	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorkoeffizienten Hi Leute! Ich hab die nächste Frage parat...und zwar soll ich die Taylorkoeffizienten $\begin{eqnarray} ao, a1, a2, a3 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \ f(x)=cos^2(x)-sin^2(x) \end{eqnarray}$ mit Enwicklungspunkt $\begin{eqnarray} \ 0 \end{eqnarray}$ bestimmen. Dazu war meine erste Idee, dass ich einfach die Potenzreihen der Cosinus- und Sinus-Funktion betrachte, diese dann jeweils quadriere und voneinander abziehe... Es sollte dann 0,1,0,0 rauskommen...tut es aber bei mir nicht...irgendwelche Vorschläge? Ich betrachte die Potenzreihen jeweils bis zum Höchstgrad 3. Gruß Chris
20.09.2006, 00:44	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorkoeffizienten Suche nach einem günstigen Additionstheorem, f lässt sich einfacher darstellen. Grüße Abakus
20.09.2006, 00:55	duese	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal, Abakus! Okay, ich nutze ein Additionstheorem, nämlich: $\begin{eqnarray} \cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x) \end{eqnarray}$ Dann kann ich aber doch die Potenzreihe von cos(z) verwenden, oder? Ich substituiere dann z=2x und komme auf das gleiche Ergebnis wie mit den Potenreihen der Ausgangsfunktion. bei mir wärs dann 1,-2,0,0. Eine Ahnung was schief läuft bei mir?
20.09.2006, 01:06	duese	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt bin ich auch registriert und kann meine voreilig gemachten Fehler wieder ausbügeln. Es müsste natürlich 1,0,-2,0 nach meiner Methode lauten, egal ob ich jetzt die Potenzreihe von cos(2x) oder das Taylorpolynom T3 f(X,0) bilde. Haben die in der Musterlösung was falsch gemacht oder bin ich total auf dem Holzweg? Grüsse editieren ist schön!
20.09.2006, 04:22	sax	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auch auf dein Ergebnis, und wenn ich maple das Entwickeln lasse, kommts auch so raus. Die Musterlösung mit 0,1,0,0 kann schon deshalb nicht stimmen, weil die Nullte Ordnung 0 ist. Der Entwicklungskoeffizient nullter Ordnung ist aber gleich dem Funktionswert an der stelle Null denn die Taylerreihe lautet ja: $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left. \frac{1}{n!} \frac{\partial^n f(x)}{\partial x^n} \right\|_{x=0} = f(x_0) + \left. \frac{\partial f(x)}{\partial x} \right\|_{x=0} x+...=a_0+a_1 x+.... \end{eqnarray}$ Nach der Musterlösung sollte also $\begin{eqnarray} \cos(0)^2+\sin(0)^2 =0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 1=0 \end{eqnarray}$ gelten, was offensichtlich Unsinn ist.
20.09.2006, 15:29	duese	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!!!
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