Grenzwert x / sin (x)

12.07.2009, 17:16

Hängemathe

Grenzwert x / sin (x)

Hallo,

ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{sin(x)} = 1 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ oder warum ?

12.07.2009, 17:17

klarsoweit

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RE: Grenzwert x / sin (x)
Ja, wenn letzteres als bekannt vorausgesetzt werden kann. So einfach kann die Welt sein. Augenzwinkern

12.07.2009, 17:33

Hängemathe

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Wunderbar. Ich bin dennoch immer ein wenig irritiert das solche Dinge nicht in meinen Skripten zu finden sind. Das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ist weiß ich jetzt auch nur weil ich mal den Thread dazu hier im Board gelesen habe ;-)

13.07.2009, 08:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hängemathe
Ich bin dennoch immer ein wenig irritiert das solche Dinge nicht in meinen Skripten zu finden sind.

Die Zahl der Ausdrücke mit existierendem Grenzwert dürfte deutlich größer sein als die Zahl derer, die mit dieser Eigenschaft in deinem Skript stehen. Big Laugh

13.07.2009, 08:54

Aradhir

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Zitat:

Original von Hängemathe
Wunderbar. Ich bin dennoch immer ein wenig irritiert das solche Dinge nicht in meinen Skripten zu finden sind. Das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ist weiß ich jetzt auch nur weil ich mal den Thread dazu hier im Board gelesen habe ;-)

Kannst du aber ganz einfach nachrechnen, denn das ist ein $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ Fall.

13.07.2009, 09:04

klarsoweit

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Was soll denn das jetzt? verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~f(x) = g \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~\frac{1}{f(x)} = \frac 1 g \end{eqnarray*}$ . So einfach ist die Welt. Augenzwinkern

13.07.2009, 10:56

Hängemathe

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Wenn ich Aradhir richtig verstehe bezog er das nicht auf die eigentliche Frage, sondern auf die weiterführende woher man denn wissen soll das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

13.07.2009, 11:20

klarsoweit

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Ah, ok. Dann Entschuldigung Aradhir. Blumen

13.07.2009, 11:46

Aradhir

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Richtig

Angenommen smile

13.07.2009, 15:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hängemathe
Wenn ich Aradhir richtig verstehe bezog er das nicht auf die eigentliche Frage, sondern auf die weiterführende woher man denn wissen soll das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Da hatten wir schon mal eine Diskussion drüber. Man kann es auch so sehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(x)} x = \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \sin'(0) = \cos(0) = 1. \end{eqnarray*}$

Oder über die Potenzreihendarstellung des Sinus. Oder über die Exponentialfunktion.

13.07.2009, 15:35

stereo

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Kann man das auch mit Taylor begründen?

13.07.2009, 15:39

WebFritzi

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Das wäre das gleiche wie mit der Potenzreihendarstellung.

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