Dgl. 1. Ordung
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12.07.2009, 15:44 Vexx Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl. 1. Ordung
Hey Leute,
also folgendes Problem:

Ich hab die Dgl. y´+ 2y = x

Also:

y´= x - 2y

Jetzt hab ich substituiert: z = x - 2y

dz/dx = 1 - 2z

also 1 / ( 1 - 2z ) dz = dx

Problem ist jetzt, wenn ich das integriere kommt nicht das richtige Ergebniss raus!!

Mein Ergebniss : y = x/2 - 1/4 + 1/4 * ce^x

Das richtige Ergebniss lautet aber angeblich: x/2 - 1/4 + 1/4 * ce^ -2x

Das würde also bedeuten, dass ich nach der Substitution 1 / ( 1 - 2z ) dz = -2 dx integrieren müsste.

Aber auf das -2 dx auf der rechten Seite komm ich einfach nicht....

Hab ich was falsch gemacht???

Lg Vexx
12.07.2009, 17:12 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
Zitat:
Original von Vexx
Jetzt hab ich substituiert: z = x - 2y

dz/dx = 1 - 2z


Schon hier wird es falsch. Es muß heißen. Diese Gleichung und den Substitutionsansatz kannst du nach bzw. auflösen. Somit kannst du die gegebene Differentialgleichung in eine mit überführen, die die unabhängige Variable nicht mehr enthält.

Zitat:
Original von Vexx
Das richtige Ergebniss lautet aber angeblich: x/2 - 1/4 + 1/4 * ce^ -2x


Das ist leider falsch. Das richtige Ergebnis lautet nicht .

Im übrigen kannst du die miteinander multiplizierten Konstanten und zu einer neuen Konstante verschmelzen.
12.07.2009, 18:58 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
Zitat:
Original von Vexx
Mein Ergebniss : [...]

Das richtige Ergebniss [...]


Merke: Ergebnis.
13.07.2009, 12:53 Vexx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
Ja aber wenn z = x - 2y ist,
dann ist doch z´ = 1 - 2y´ = 1 - 2z

Also: dz/dx = 1 - 2z
Und jetzt kann man Trennung der Variablen vornehmen!!

Bei mir in der Vorlesung steht nämlich folgendes:

Regel (Substitution eines linearen Terms z = ax+ by+ c)

Eine Dgl. der Form y´ =f (x,y) =g(ax + by + c)

kann durch die Substitution z = ax+ by+ c
in eine separable Dgl. überführt werden:

z´ = a + by´ = a + b* g(z)
Diese neue Dgl. wird wie gewohnt mit Trennung der Variablen behandelt und ihre Lösung anschließend rücksubstituiert.

Beispiel y´ = x + y

Für z = x + y gilt z´ = 1 + y´= 1 + z.

Aus dz/dx = 1 + z folgt.........(usw.)

Ist das jetzt alles falsch?
13.07.2009, 13:22 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
Doch, das ist schon richtig und deine Substitution auch. Aber woher sollen wir denn wissen, wo du den entscheidenden Fehler mit x und -2x gemacht hast? Denk doch mal ein bisschen mit.
13.07.2009, 13:38 Vexx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
Achso ja kein Problem, dann schreib ich eben meinen kompletten Lösungsweg auf:

Also:

y´= x - 2y

Substitution:
z = x - 2y

z´= 1 - 2y´= 1 - 2z

Also:

dz/dx = 1 - 2z

Int 1/(1 - 2z) dz = Int dx

ln(1 - 2z) = x + c

1 - 2z = ce^x

z = (1 - ce^x) / 2

Rücksubstituiert:

x - 2y = (1 - ce^x) / 2

-2y = (1 - ce^x) / 2 - x

2y = x - (1 - ce^x) / 2

y = x/2 - (1 - ce^x) / 4

y= x/2 - 1/4 + ce^x
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13.07.2009, 13:41 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
Zitat:
Original von Vexx
Int 1/(1 - 2z) dz = Int dx

ln(1 - 2z) = x + c


Das hab ich mir gedacht. Leite mal zur Probe ab.

Und bitte verwende den Formeleditor.
13.07.2009, 13:51 Vexx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dgl. 1. Ordung
scheisse!!!!!!!!!!!!!!!!!

da fehlt ja ein -1/2 vor dem logarithmus!!!!

So ein mist!!!

Danke, danke!!!

Achja und wenn ich den Formeleditor benutze, schreibt der nicht das Integralzeichen sondern: \int_{b}^{a}~2x~dx

Wieso???
13.07.2009, 14:00 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

code: 
1:

[latex]\int_{b}^{a}~2x~dx[/latex]


ergibt
13.07.2009, 14:03 Vexx Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh alles klar!!
Danke!!
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