verständnisfrage zum mittelwert

12.07.2009, 18:56	paddy2	Auf diesen Beitrag antworten »
verständnisfrage zum mittelwert hallo alle zusammen ich lese des öfteren in meinenn unterlagen, dass der Mittelwert Xn selbst normalverteilt ist mit N ( $\begin{eqnarray} \alpha , \frac{\beta^{2}}{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist hierbei der erwartungswert $\begin{eqnarray} beta^{2} \end{eqnarray}$ ist die varianz und n meint der stichprobenumfang Fragestellung : 1. verstehe ich nicht warum der mittelwert selbst wieder normalverteilt ist ?? 2. warum wird die varianz der normalverteilung des mittelwertes als $\begin{eqnarray} \frac{\beta^{2}}{n} \end{eqnarray}$ angegeben ?? ich bitte um Hilfe danke
13.07.2009, 08:40	JPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi paddy, zu einer x-beliebigne Zufalsvariablen kann man einen Ewartungswert und eine Varianz ausrechnen. Nicht imemr sind das schöne Ergebnisse, aber im Fall der Notmalverteilung gehts quasi gar nicht mehr besser. µ ist nicht nur der Erwartungswert, sondern auch noch Parameter der entsprechenden Verteilung! Ebenso gilt das für die Varianz. Wenn man jetzt aus dieser Verteilung (mit bekannter Varianz!) eine Stichprobe der Länge n nimmt und den Mittelwert berechnet, erwartet man dass der Mittelwert der Stichprobe ist "in etwa" µ ist. Nimmt man mehrere Stichproben derselben größe, kann man die Streuung der Mittwelwerte errechnen. Da die Stichproben offenbar von der ursprünglichen Verteilung abhängen, hängt damit auch der die Streuung der Mittelwerte davon ab. Ferner möchte man folgende Eigenschaft haben: Wenn man die Stichprobe immer größer wählt, soll der Mittelwert der Stichprobe dem µ immer näher kommen. Daher kommt das n im Nenner. Das war jetzt der nicht-formale Aspekt deiner Frage, natürlich kann/muss man das auch formal beweisen.
13.07.2009, 12:41	paddy2	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh danke dir für die erklärung kann mir dass jemands vlt auch formal erklären, ich finde im internet nichts und bein mir in meinem skript wurden die rechnungen ausgelassen ... danke
13.07.2009, 18:46	JPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einfachste Zugang ist sicher, wenn man schon weiß, dass die summe normalverteilter ZV wieder normalverteilt ist und die Summenformel von Erwartungswert und Varianz gezeigt hat: Seien X1,...,Xn iid ~ N(m,s²). Dann gilt für $\begin{eqnarray} Z=\sum_{i=1}{n}X_i \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E(Z)=E( \sum \frac{X_i}{n})=\sum E( \frac{X_i}{n})=\frac{1}{n}E(\sum X_i)=\frac{n}{n}E(X_1)=µ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(Z)=Var( \sum \frac{X_i}{n})=\sum Var( \frac{X_i}{n})=\frac{1}{n^2}Var(\sum X_i)=\frac{n}{n^2}Var(X_1)=\frac{s^2}{n} \end{eqnarray}$ folglich folgt der Mittelwert einer Normalverteilung mit den Paramtern µ und s² Grüße, JPL

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