Wert einer Reihe

13.07.2009, 10:22	Bern Clüver	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Reihe Ich hab hier einen Reihenwert, bei dem ich nicht weiter komme. Hat jemand einen Tipp für mich? $\begin{eqnarray} \text{Sei} \ z\in\mathbb C. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Es gilt:} \ \sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2^{n-1}}}{z^{2^n}-1}=\begin{cases} \frac{z}{z-1} & \text{für} \ \|z\|<1 \\ \frac{1}{z-1} & \text{für} \ \|z\|>1 \end{cases}. \end{eqnarray}$
13.07.2009, 11:48	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis funktioniert analog dem der geometrischen Reihe. Daraus erhälst du die Beziehung: $\begin{eqnarray} S_n=\frac{z^{2^{n}}-z}{z^{2^{n}+1}-z-z^{2^{n}}+1} \end{eqnarray}$ Und daraus lassen sich für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ beide Fälle ableiten. Gruß
13.07.2009, 15:31	Bernd Clüver	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, die geom. Reihe hat man also im Zähler: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n\frac{z^{2^{n-1}}}{z^{2^n}-1}=\frac{\frac{z^{2^n}-z}{z-1}}{z^{2^n}-1} \end{eqnarray}$ Vielen Dank!
13.07.2009, 16:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Romaxx Hmm, ich sehe hier keine geometrische Reihe, der Begriff erscheint mir zumindest unangebracht. Nichtsdestotrotz ist die Partialsummenformel $\begin{eqnarray} S_n = \frac{z^{2^n}-z}{z^{2^n+1}-z-z^{2^n}+1} = \frac{z^{2^n}-z}{\left( z^{2^n}-1 \right)(z-1)} \end{eqnarray}$ richtig, sie lässt sich durch vollständige Induktion beweisen.
13.07.2009, 18:11	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Ich meinte auch nicht, dass man diese Aufgabe beweist, indem man die geometrische Reihe irgendwie explizit anwendet, sondern, dass man hier genauso vorgehen kann, wie bei dem Beweis der geometrische Reihe. Hier: $\begin{eqnarray} S_n=\frac{z}{z^2-1}+\frac{z^2}{z^4-1}+\frac{z^4}{z^8-1}+\dots + \frac{z^{2^{n-1}}}{z^{2^n}-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z\cdot S_n=\frac{z^2}{z^2-1}+\frac{z^3}{z^4-1}+\frac{z^5}{z^8-1}+\dots + \frac{z^{2^{n-1}+1}}{z^{2^n}-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_n\cdot(z -1)=z\cdot S_n -S_n=\underbrace{\underbrace{\underbrace{\frac{z^2-z}{z^2-1}+\frac{z^3-z^2}{z^4-1}}_{\frac{z^4-z}{z^4-1}}+\frac{z^5-z^4}{z^8-1}}_{\frac{z^8-z}{z^8-1}}+\dots + \frac{z^{2^{n-1}+1}-z^{2^{n-1}}}{z^{2^n}-1}}_{\frac{z^{2^n}-z}{z^{2^n}-1}} \end{eqnarray}$ Gruß
13.07.2009, 20:34	Bernd Clüver	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab's wie gesagt so aufgefasst (für n=3 z.B.: ) $\begin{eqnarray} S_3=\frac{z}{z^2-1}+\frac{z^2}{z^4-1}+\frac{z^4}{z^8-1}=\frac{\sum_{k=1}^7z^k}{z^8-1}=\frac{z^8-z}{(z-1)(z^8-1)} \end{eqnarray}$ Damit gelange ich zur Partialsumme, die sich induktiv beweisen lässt.
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