Schätzer erwartungstreu bzw. schwach konsistent

13.07.2009, 11:57	Strandläufer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer erwartungstreu bzw. schwach konsistent Hallo liebe Matheboard-Mitglieder, nachdem ich bisher als stiller Mitleser hier im Forum unterwegs war, muss ich jetzt selbst eine Frage einstellen, bei der ich einfach nicht zurecht komme. ich habe die Frage in keinem anderen Forum eingestellt und wäre auserordentlich dankbar für Hilfe: Aufgabe: Wir möchten testen, mit welcher Konzentration ein Giftstoff in einem Haarpflegemittel vorkommt. Wir nehmen an, dass der Giftstoff eine feste Maximalkonzentration von 0< B < 1 in diesem Produkt hat und die Konzentration in jeder Packung unabhängig von allen anderen Packungen auf [0, B ] gleichverteilt ist. Wir bestimmen für bel. n \el \IN in n Packungen die Konzentration X_1, ..., X_n des Giftstoffes. Als Schätzer für B setzen wir T(X_)= T(X_1 ,..., X_n):= max (von i=1 bis n) X_i. Überprüfen Sie, ob T(X_) erwartungstreu bzw. schwach konsistent für \gamma ist. Außerdem muss ich noch einen Schätzer S(X_) konstruieren, der erwartungstreu und schwach konsistent für B ist. Viele Dank schonmal im Voraus. Strandläufer
13.07.2009, 12:25	JPL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer erwartungstreu bzw. schwach konsistent Hi, was ist den gamma in diesem Zusammenhang? Grüße, JPL
13.07.2009, 12:48	Strandläufer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, sorry... also das Gamma ist auch B - eigentlich ist das in der AUfgabe ein Theta - wollte dann die Aufgabe im Formeleditorschreiben - da gabs kein Theta, also hab ich das Gamma genommen, da ichs dann aber auch so nicht mit dem Editor hin bekommen habe, habe ich aus dem Gamma ein B gemacht - und an der Stelle vergessen es zu ändern
13.07.2009, 21:15	Strandläufer	Auf diesen Beitrag antworten »
´hat dazu denn niemand eine Idee? Wäre echt sehr dankbar für Hilfen
14.07.2009, 09:44	JPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, hier mal ein paar Gedanken dazu, was dich aber nicht des Selberrechnens enthebt Sei n eine natürliche Zahl und $\begin{eqnarray} T_n :=max \{X_1,...,X_n \} \end{eqnarray}$ . Dann ist (für geeignetes b) $\begin{eqnarray} F_{T_{n}}(b)=P(T_n \leq b) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq b) = \left( \frac{b}{B} \right) ^n \end{eqnarray}$ und die Dichte: $\begin{eqnarray} F_{T_{n}}' = f_{T_{n}}= \frac{n}{B^n}b^{(n-1)} \end{eqnarray}$ Dann ist der Erwartungswert ganz klassisch: $\begin{eqnarray} E(T_n)=\int_{0}^{B} bf_{T_{n}}db = ... = \frac{n}{n+1}B \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ nicht erwartungstreu konverguiert aber für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen B. Tatsächlich ergibt die Multiplikation mit dem Kehrwert des bias den UMVU (auch beschrieben hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_distribution_(continuous)). Das müsste eigentlich genug für deine beiden Aufgaben sein. Grüße, JPL

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