Zusammenhänge in der Linearen Algebra - Prüfungsvorbereitung

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhänge in der Linearen Algebra - Prüfungsvorbereitung
Hallo!

Meine Lineare Algebra - Kenntnisse liegen leider schon etwas zurück, da ich bis auf ein paar Rechnungen und Zusammenhänge nicht mehr viel damit in Berührung gekommen bin. Nun muss ich aber da nochmal durch, Prüfungen bei einem anderen Prof, der auch die Schwerpunkte seiner damaligen Vorlesung etwas anders gelegt hat. Deshalb will ich hier ein bisschen durcheinander immer wieder meine Fragen stellen...

1. Seien . Es ist . Ferner sei

Geben Sie ein lineares Gleichungssystem derart an, dass die Lösungsmenge L dieses LGS gerade mit H übereinstimmt.

Wie geht man das generell an??? Der inverse Operator ist mir durchaus klar, aber wie kann ich zu einer gegebenen Lösungsmenge ein GS aufstellen?

Danke für die Anstöße - muss mich wirklich wieder erstmal reindenken. Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das LGS hat die Form Ax = b. muss nun eine Lösung dieses LGS sein und der Kern von A mit U übereinstimmen.
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern von A ist doch die Menge aller Vektoren für die gilt: . In diesem Fall ist also , d.h. sind Lösung des homogenen Gleichungssystems.

Aber das bringt ja noch nicht weiter, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
In diesem Fall ist also


Nein:


Zitat:
Original von vektorraum
sind Lösung des homogenen Gleichungssystems.


Das ist richtig.


Zitat:
Original von vektorraum
Aber das bringt ja noch nicht weiter, oder?


Nein. Du sollst ja mögliche A und b finden. Ich wollte dir dazu nur einen Anstoß geben.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry.

Nun frage ich mich also, welche Gestalt meine Koeffizientenmatrix haben muss, so dass

und .

Dass kann man ja auch formulieren als Gleichungssystem in der Form


.

Dann ist eine Lösung dieses Gleichungssystem, wenn man sich z.B. wählt. Also allgemein: ist Lösung des Gleichungsystems. Damit sind und linear unabhängige Lösungen des Gleichungssystems

.

Ist das soweit richtig???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum

.

[...] Damit sind und linear unabhängige Lösungen des Gleichungssystems


Nein, ist keine Lösung dieses GS's.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Damit sind und linear unabhängige Lösungen des Gleichungssystems

.



Ich meinte doch das Gleichungssystem. Und da sind es doch Lösungen... verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, entschuldige. Klar, stimmt.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

OK - das ist gut. Dann habe ich das Gleichungssystem jetzt herausbekommen. Jetzt fehlt mir noch ein bisschen der Zusammenhang:

Die nachfolgende Aufgabe ist die Bestimmung des Abstands von f zu H. Gesucht ist der Lotfußpunkt von f auf H und die Lotgerade von f auf H.

Wie kann ich das jetzt in Einklang mit den bisherigen Resultaten bringen???

Ganz naiv rangegangen würde ich einfach einen Normalenvektor zur Ebene H aufstellen und eine Geradengleichung bestimmen. Der Schnitt von Ebene und Gerade ist dann gerade der Lotfußpunkt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Ganz naiv rangegangen würde ich einfach einen Normalenvektor zur Ebene H aufstellen und eine Geradengleichung bestimmen. Der Schnitt von Ebene und Gerade ist dann gerade der Lotfußpunkt.


Das hört sich doch ganz gut an. Augenzwinkern

Eigentlich gehört das übrigens in die Schulmathematik.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, so könnte ich das machen.

Ich suche aber noch den Zusammenhang zwischen der ersten Aufgabe und der Aufgabe zur Bestimmung des Fußpunktes usw.

Mein Prof. greift das in seiner Lösung irgendwie auf und leitet daraus die Hesse'sche Normalform ab.

Gehts also auch anders?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe hat sich damit erledigt - habe es rausbekommen.

Nun eine weitere, bei der mir Sachen unklar sind:

2. Zeigen Sie, dass es genau eine R-lineare Abbildung gibt mit , falls V der von den Vektoren erzeugte R-Untervektorraum des ist und

Bislang haben wir das immer so gemacht, dass wir den "modifizierten Gaußalgorithmus" draufgeschickt haben und mit ein bisschen Umformen die zugehörige Koordinatenmatrix D erhalten haben.

Ich komme hier aber (scheinbar) zu einem Widerspruch verwirrt Wenn gelten soll



was auch geschrieben werden kann als .

Dann müsste doch eigentlich D eine Matrix sein, oder???

Nun gut. Wenn man den Ansatz



wählt und entsprechend den Algorithmus anwendet, fällt eine Zeile komplett weg. Die Frage ist ja überhaupt wie man das Ding auf die Einheitsmatrix bringen soll???

Sorry, vielleicht simple Frage - mir fehlt da gerade der Zusammenhang.

Danke für eure Hilfe.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Für neue Fragen würde ich auch einen neuen Thread vorschlagen. Augenzwinkern

Was weißt du denn über die bi und die ci? Sind die l.u. oder l.a?

edit: Warum ich fragte.
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