Isomorphismus | Homomorphismus zeigen

13.07.2009, 19:22

Macrom

Isomorphismus | Homomorphismus zeigen

Hallo Leute. Wink

Neuer im Anmarsch.

Aufgabe 1
Für zwei K–Vektorräume $\begin{eqnarray*} (U, +\cdot), (V, +\cdot) \end{eqnarray*}$ und einen linearen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f : U \to V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear.

Aufgabe 2
Für zwei K–Vektorräume $\begin{eqnarray*} (U, +\cdot), (V, +\cdot) \end{eqnarray*}$ und einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f^{ } : U \to V \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f^{ } \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Kern $\begin{eqnarray*} f^{ } = {0} \end{eqnarray*}$

Ich habe die letzte Zeit damit verbracht das Internet und mein schlaues Buch zu wälzen. Hätte es etwas genützt wäre ich nicht hier. Big Laugh

Unser Dozent hat zwar wie immer eine "schöne" Definition hingeknallt, aber ich hab ihn und sein Skript noch nie so wirklich verstanden. Deshalb weiss ich nicht, wo ich anfangen soll.

13.07.2009, 19:29

tigerbine

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RE: Isomorphismus | Homomorphismus zeigen
Willkommen

Erkläre die Begriffe

* Isomorphismus und Homomorphismus (Definitionen).

* Was bedeutet den Injektiv?

* Was ist der Kern einer Linearen Abbildung?

Welche Ideen kommen dir, nachdem du das getan hast?

14.07.2009, 10:39

Macrom

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RE: Isomorphismus | Homomorphismus zeigen

Zitat:

* Isomorphismus und Homomorphismus (Definitionen).

Isomorphismus ist geg., wenn
$\begin{eqnarray*} f^{} \end{eqnarray*}$ bijektiv, ein Homomorphismus und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist.
Bleibt nur die Frage, was Homomorphismus ist. Hammer

Müsste ich hier nicht auf Linearität prüfen ... oder so? verwirrt

Zitat:

* Was bedeutet den Injektiv?

War das nicht, dass jedes Element aus dem Bild auf max. ein Element des Wertebereichs abbildet? verwirrt

Sonst KA, da ich Analysis nicht mitgeschrieben hab.
Hmmm. Lesen1

Zitat:

* Was ist der Kern einer Linearen Abbildung?

Der Kern bildet auf 0 (das neutrale Element) ab.

Zitat:

Welche Ideen kommen dir, nachdem du das getan hast?

Keine, denn mit kommt keine Idee wie ich es jetzt anwenden, geschweige denn formal aufschreiben soll.

14.07.2009, 10:46

Felix

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Zitat:

Bleibt nur die Frage, was Homomorphismus ist. Zunge raus

Ein (Vektorraum-) Homomorphismus ist eine lineare Abbildung Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{} \end{eqnarray*}$ bijektiv, ein Homomorphismus und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist.

Das ist richtig, die Definition beschränkt sich aber normalerweise auf f linear und bijektiv. Die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ sollst du ja folgern.

Zitat:

War das nicht, dass jedes Element aus dem Bild auf max. ein Element des Wertebereichs abbildet? verwirrt

Das ist richtig. Jetzt sollte dir eigentlich einfallen warum der Kern gleich 0 ist Augenzwinkern

Edit: Es muss natürlich der Definitionsbereich sein. Das zeigt wohl einmal mehr, dass man sieht, was man sehen will Augenzwinkern

Zitat:

Der Kern bildet auf 0 (das neutrale Element) ab.

Der Kern ist das Urbild von 0. Daher alle Elemente des Def.-Bereichs die auf 0 abgebildet werden.

14.07.2009, 11:40

tigerbine

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Zitat:

War das nicht, dass jedes Element aus dem Bild auf max. ein Element des Wertebereichs abbildet?

Was ist denn bei dir der Wertebereich?... Definitionsbereich trifft es eher. Injektivität ist die Eindeutigkeit des Urbilds.

14.07.2009, 13:23

Macrom

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Zitat:

Original von Felix

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{} \end{eqnarray*}$ bijektiv, ein Homomorphismus und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist.

Das ist richtig, die Definition beschränkt sich aber normalerweise auf f linear und bijektiv. Die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ sollst du ja folgern.

Augen auf ist immer gut. Hammer

Zitat:

Original von Felix

Zitat:

War das nicht, dass jedes Element aus dem Bild auf max. ein Element des Wertebereichs abbildet? verwirrt

Das ist richtig. Jetzt sollte dir eigentlich einfallen warum der Kern gleich 0 ist Augenzwinkern

Edit: Es muss natürlich der Definitionsbereich sein. Das zeigt wohl einmal mehr, dass man sieht, was man sehen will Augenzwinkern

Zitat:

Der Kern bildet auf 0 (das neutrale Element) ab.

Der Kern ist das Urbild von 0. Daher alle Elemente des Def.-Bereichs die auf 0 abgebildet werden.

Somit bildet der Kern $\begin{eqnarray*} f^{ } \end{eqnarray*}$ nur auf {0} ab, also auf ein Element, was dem Satz der Invektivität entpricht.

14.07.2009, 13:33

Felix

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Wenn ich deine Sätze so lese, dann kommen mir Zweifel ob du überhaupt weißt, was der Kern einer linearen Abbildung ist.

Ich geb dir hier nochmal die Definition, auch wenn du diese eigentlich auch selbst aus dem Internet suchen könntest.

Sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

$\begin{eqnarray*} Kern f = \{ v \in V : f(v) = 0 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Kern f \end{eqnarray*}$ ist also eine Teilmenge des Definitionsbereichs !

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt injektiv, wenn:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x') \Rightarrow x = x' \end{eqnarray*}$

So nun dürfte es aber kein Problem mehr darstellen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Kern f = \{0\} \end{eqnarray*}$ für ein injektives $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

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