Frage/Aufgabe bezüglich Grenzwertsätze von de L`Hospital

13.07.2009, 22:58

tamo

Frage/Aufgabe bezüglich Grenzwertsätze von de L`Hospital

Moin Moin,

Wir schreiben bald eine Mathe-Klausur und ich habe noch ein paar Probleme mit den Grenzwertsätzen.

Wir haben ein paar Übungen bekommen, darunter diese Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{sin x} + \frac{1}{ln(1-x)}\right) \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt etwas ratlos, da ich dachte, die Grenzwerte nach de L´hospital gelten nur, wenn Zähler und Nenner = 0 sind. Dies ist hier ja offensichtlich nicht der Fall........

Eventuell kann mir fix Jemand sagen, wieso man bei der Aufgabe auch von "Grenzwertsätze von de L`Hopsital" spricht.

Ciao und Danke

13.07.2009, 23:02

Sly

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Bring das ganze doch erstmal auf einen Hauptnenner, also stelle den Ausdruck als Bruch dar.

13.07.2009, 23:53

tamo

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Ok danke, leider steh ich immer noch etwas auf dem Schlauch. ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)+sinx}{ln(1-x)*sinx} \end{eqnarray*}$

Ohne weiteres kann man da ja nix wegkürzen, oder? Ich würde halt jetzt von den jeweiligen Funktionen die jeweiligen Ableitungen bilden. Dazu hab ich auch ne kleine Frage. Gilt ln(1-x)
als Produktregel? Ich nehme es mal an, also erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{x} * (1-x) + cosx }{-\frac{1}{x}(1-x)*sinx+ln(1-x)*cosx} \end{eqnarray*}$

Mhn, bevor ich weitermache, guck ich lieber esma, ob ich es richtig gemacht habe.

Ciao!

14.07.2009, 00:15

Airblader

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Zitat:

Dazu hab ich auch ne kleine Frage. Gilt ln(1-x)
als Produktregel?

Abgesehen davon, dass dieser Satz prinzipiell völlig sinnfrei ist ... wo siehst du da ein Produkt?

Für mich sieht das nach einer Verkettung $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=1-x \end{eqnarray*}$ aus.
Damit sollte auch geklärt sein, wie man sowas ableitet.

air

14.07.2009, 00:20

tamo

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Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Dazu hab ich auch ne kleine Frage. Gilt ln(1-x)
als Produktregel?

Abgesehen davon, dass dieser Satz prinzipiell völlig sinnfrei ist ... wo siehst du da ein Produkt?

air

Tschuldigung, ich meinte natürlich: "Muss man die Funktion f(x)=ln(1-x) nach der Kettenregel ableiten? Ich halte hier "ln" und (1-x) für differenzierbar, wobei "ln" die äußere Funktion und (1-x) die innere Funktion von f für mich darstellt. "

14.07.2009, 00:27

Airblader

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Habe ja inzwischen schon oben was reineditiert.

Warum hast du, wenn du es weißt, nicht nach der Kettenregel abgeleitet? Augenzwinkern

air

14.07.2009, 01:28

tamo

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Hi,

Also wenn f(x)= ln(1-x) ist für mich

f´(x) =

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \cdot (1-x)\cdot -1 = - \frac {1}{x} \cdot (1-x) \end{eqnarray*}$

Mach ich da jetzt was falsch?

14.07.2009, 02:00

Romaxx

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Hallo,

ja machst du!

die Kettenregel lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g(x)=ln(x),\; g'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=1-x,\; h'(x)=-1 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt bitte richtig, immerhin sind wir hier in einem Hochschulforum traurig

.

Gruß

14.07.2009, 02:12

tamo

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Ich hab es doch genau so gemacht?!

14.07.2009, 02:14

WebFritzi

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Nein, hast du nicht. Romaxx hat dir alles hingeschrieben, was du brauchst.

14.07.2009, 02:20

tamo

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Ja, alles klar, ich sehe den Fehler. Hab die Kettenregel falsch verstanden.

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Ciao und Danke nochmal.

14.07.2009, 02:22

WebFritzi

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Für die spätere Kontrolle: der Grenzwert ist 1/2.

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