Hermitische Interpolation: Verständnisproblem

14.07.2009, 10:35

getshoxed

Hermitische Interpolation: Verständnisproblem

Hi an alle hier,

Ich habe mir den WS von tigerbine durchgelesen und kann leider nicht folgen.

Ich wollte die Aufgabe 9 folgendermaßen lösen:

Ich habe 4 Gleichungen:

angenommen: p(x) = a0 + +a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 (da 2 Variablen, n+1-gradiges polynom)
p(t=0): a0 = 1
p'(t=0): a1 = 0
p(t=pi/2):a0 + a1 * pi/2 + a2 * (pi/2)^2 + a3 * (pi/2)^3 = 0
p'(t?pi/2): a1 + a2 * pi/2 + a3 * (pi/2)^2 = -1

Nur das LGS hat keine Lösung? Wieso nicht, es sollte doch auch so lösbar sein?

Und zur Lösung von Tigerbiene:

Wie kommt man auf die Tabelle? Ich kapier nicht wieso da 2 mal 0 und 2 mal pi/2 steht. Beim Beispiel mit der Laterne sogar nur eine Variable doppelt?

Wieso?
Und wie genau komme ich auf die nachfolgenden Werte? Woher weiß ich wie oft ich eine Variable duplizieren muss?!

Vielen Dank für eure Hilfe.

Markus

14.07.2009, 11:48

tigerbine

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RE: Hermitische Interpolation: Verständnisproblem
Willkommen

und schön, dass du den WS gelesen hast. Ich versuche dir gerne weiterzuhelfen.

Zur Aufgabe 9:

Da sind folgende 2 doppelte Knoten gegeben: $\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2,x_3) = (0,0,\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

Wie zu interpolierende Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

Ihre Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

D.h. die Hermite-IP-Aufgabe lautet ein Polynom vom Maximalgrad 3 zu finden mit

$\begin{eqnarray*} p_3(0)=f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3(\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3'(0)=f'(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3'(\frac{\pi}{2})=f'(\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, wie bei Hermite das Schema der Dividierten Differenzen aussieht. In die erste Spalte kommen die Knoten (hier eben Doppelknoten). Danach deren Funktionswerte. Dann bildet man die ersten div. Differenzen und bei Mehrfachknoten kommen nun die Ableitungen ins Spiel.

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r| r|} \hline 0 &1 & 0 & -\frac{4}{\pi^2} & -\frac{16-4\pi}{\pi^3} \\ \hline 0 & 1 & -\frac{2}{\pi} & \frac{-2\pi +4}{\pi^2} & \\ \hline \frac{\pi}{2} & 0 &-1 & & \\ \hline \frac{\pi}{2} & 0 & & & \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Bei der Laternenaufgabe hatten wir nur einen Doppelknoten. Verstehst du es nun? Deine Idee schaue ich mir später an. Wink

14.07.2009, 13:23

tigerbine

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Deine Variante
$\begin{eqnarray*} p_3(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \end{eqnarray*}$

Dann lautet die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} p_3'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 \end{eqnarray*}$

Nun setzten wir ein, formal mal ganz genau:

$\begin{eqnarray*} p_3(0)=1a_0 + 0a_1 + 0a_2 + 0a_3 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3'(0)=0a_0 +1a_1 + 0a_2 + 0a_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3(\frac{\pi}{2})=1a_0 + \frac{\pi}{2}a_1+ (\frac{\pi}{2})^2a_2 + (\frac{\pi}{2})^3a_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3'(\frac{\pi}{2}) =0a_0+ 1a_1 + 2(\frac{\pi}{2})a_2 + 3(\frac{\pi}{2})^2a_3 =-1 \end{eqnarray*}$

Das nun als LGS

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:

A =
    1.0000         0         0         0
         0    1.0000         0         0
    1.0000    1.5708    2.4674    3.8758
         0    1.0000    3.1416    7.4022
>> b=[1;0;0;-1]
b =
     1
     0
     0
    -1
>> A\b
ans =
    1.0000
    0.0000
   -0.5792
    0.1107

>>f=[1,pi/2,(pi/2)^2,(pi/2)^3]
f =
    1.0000    1.5708    2.4674    3.8758
>> f*(A\b)
ans =
     0

Die Koeffizienten sind i.a. nicht gleich, da das LGS die Darstellung in Monom-Schreibweise liefert, das Div Diff. Schema in der Newton-Neville Darstellung.

14.07.2009, 22:28

getshoxed

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RE: Hermitische Interpolation: Verständnisproblem
Hi,
erstmla danke für deine Erklärung, nur kapier ich leider die Tabelle kein Stück unglücklich

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r| r|} \hline 0 &1 & 0 & -\frac{4}{\pi^2} & -\frac{16-4\pi}{\pi^3} \\ \hline 0 & 1 & -\frac{2}{\pi} & \frac{-2\pi +4}{\pi^2} & \\ \hline \frac{\pi}{2} & 0 &-1 & & \\ \hline \frac{\pi}{2} & 0 & & & \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

ist das nicht "ausgeschrieben" in Variablen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r| r|} <br /> \hline x_0 & f(x_0) & f_{01} & f_{0(1)2} & f_{0(12)3} \\ \hline x_1 & f(x_1) & f_{12} & f_{1(2)3} & \\ \hline x_2 & f(x_2) & f_{23} & & \\ \hline x_3 & f(x_3) & & & \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Die eingeklammerten stehen in meiner Notation hier dazwischen, ich denke hier gehören sie wohl raus?!

Dann ist ja die erste Reihe $\begin{eqnarray*} f_{01} \end{eqnarray*}$ nach der Regel $\begin{eqnarray*} f_{l,j} = \frac{f_{l+1,j-1} - f_{l,j-1}}{x_{l+j} - x_l} \end{eqnarray*}$ , oder?

Und wie rechne ich das aus?

Nach den Formeln ist es ja dann $\begin{eqnarray*} \frac{f_{1,0}-f_{0,0}}{x_1-x_0} = \frac{1-\frac{0}{1}}{1-1} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler??

Könnte bitte jemand die Gleichungen mal mit Variablen aufschlüsseln? Ich habe auch nicht den blassesten Schimmer, wie man nur mit Minus im Nenner auf $\begin{eqnarray*} \pi^2 \end{eqnarray*}$ kommt?!

Danke für eure Hilfe
Markus

14.07.2009, 22:50

tigerbine

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RE: Hermitische Interpolation: Verständnisproblem
Mit Indizes ist mir das nun zu lästig. Augenzwinkern

Aber ich schreibe die entsprechenden Brüche mal auf. Generelle Eselsbrücke "Unten Minus Oben" und es wird Spaltenweise gerechnet (ausgefüllt)

Erste Spalte:
naja, die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen eben.

Zweite Spalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-1}{0-0} = f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0-1}{\frac{\pi}{2}-0} =- \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0-0}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}} = f'(\frac{\pi}{2}) = -1 \end{eqnarray*}$

Dritte Spalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{- \frac{2}{\pi}-0}{\frac{\pi}{2}-0} =- \frac{\frac{2}{\pi}}{\frac{\pi}{2}} = - \frac{4}{\pi^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1 + \frac{2}{\pi}-0}{\frac{\pi}{2}-0} = \frac{\frac{-\pi + 2}{\pi}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{-2\pi+4}{\pi^2} \end{eqnarray*}$

Verstehst du es nun ?

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