Beweis zu Skalarprodukt von Vektoren

14.07.2009, 11:52

Reveuse

Beweis zu Skalarprodukt von Vektoren

Hallo ihr Lieben,

bei den Vorbereitungen für mein Mathekolloquium bin ich auf folgende Frage gestoßen:
Ich kann leider keine Pfeile über den Buchstaben machen, ich drucke die Vektoren also einfach fett.

"Beweise dass gilt: a+b = a1+b1 + a2b2 ..

Mein Ansatz war auf geometrischem Weg, ich wollte das irgendwie mit Sinus und Cosinus beweisen, aber ich hab gerade ein Brett vor dem Kopf. Kann mir das irgendjemand anschaulich erklären?

Edit (mY+): Titel modifiziert.

14.07.2009, 11:53

Reveuse

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Ich kann leider nicht editieren, ich meinte natürlich:

"a*b"

14.07.2009, 13:28

Nubler

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was genau willst du zeigen?

14.07.2009, 16:40

Reveuse

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Naja, eben dass gilt, dass sich die Vektoren a * b als Skalarprodukt, also aus a1*b1 + a2*b2 ausrechnen lassen.

14.07.2009, 17:31

Felix

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$\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$ sei das Skalarprodukt.

Dieses ist (für Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ) per Definition $\begin{eqnarray*} =a_1b_1 + a_2b_2 \end{eqnarray*}$ (wenn $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ die Komponenten von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ die Komponenten von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind).

Da gibt es nichts zu beweisen ...

14.07.2009, 18:39

Reveuse

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Hmm... ganz komisch, das war nämlich die letzte Aufgabe in unserer Klausur.

14.07.2009, 18:45

Felix

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Dann gib uns mal die vollständige Angabe.

14.07.2009, 18:50

Jacques

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Hallo,

Es gibt auch die Definition

$\begin{eqnarray*} a \cdot b := |a| |b| \cos(\gamma) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Wahrscheinlich soll man daraus dann die Gleichung für die Komponenten zeigen.

14.07.2009, 21:48

Reveuse

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Das waren alle Angaben. Das macht mich ja gerade so stutzig, das ist per Definition doch so festgelegt. Die Aufgabe lautet jedoch genauso wie ich sie vorhin abgetippt hab. Ohne Zusatzinformationen, Anforderungen..

14.07.2009, 22:59

Jacques

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Zitat:

Original von Reveuse

Die Aufgabe lautet jedoch genauso wie ich sie vorhin abgetippt hab. Ohne Zusatzinformationen, Anforderungen..

Aber Ihr habt ja vorher das Skalarprodukt irgendwie definiert. Wenn Eure Definition wirklich genau die obige Gleichung ist, ergibt die Aufgabe natürlich keinen Sinn. Aber es gibt auch noch andere Definitionen (s. o.). Und mit denen könnte man dann sehr wohl die Gleichung nachweisen.

Also mit der Definition

$\begin{eqnarray*} a \cdot b := |a||b|\cos(\gamma) \qquad a, b \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

kann man zeigen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{eqnarray*}$

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