Integral (Grenzen bestimmen)

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Hansi20 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral (Grenzen bestimmen)
Also die Aufgabe ist wie folgt:

Sei . Berechnen Sie das Volumen.

Mein Problem ist es die Grenzen des Integrals zu bestimmen.

Ich habe es so versucht:

Es gilt:

Es folgt:

Das wäre meine Grenze für das Integral nach y.

Dann gilt weiter:
Das wäre die Grenze für das Integral nach z.

Weiter gilt:

Das wäre die Grenze für

Also wäre mein Integral:

Ist das richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grenzen für sind richtig, aber dann wird's falsch: Bei festem gilt wegen dann

.

Und bei festem ist schließlich . Es ergibt sich

Hansi20 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das die Grenzen sind, dann komme ich soweit:



Hast du ne Idee wie ich das Integral rausbekomme?
Hier hakt es bei mir.
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hansi20
Wenn das die Grenzen sind, dann komme ich soweit:



Hast du ne Idee wie ich das Integral rausbekomme?
Hier hakt es bei mir.




1. Substitution



2. Substitution



Benutze



Nach der Integration die Rücksubstitution nicht vergessen, oder die Grenzen mitsubstituieren.

Edit: y mit x getauscht.
Hansi20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von outSchool

1. Substitution





Hier meinst du wohl:



oder?

Also ich komme auf folgendes:

Wenn ich die 1te Substitution mache, erhalte ich:



Nun kommt die 2te Substitution:

Da erhalte ich folgendes:



Durch Rücksubstitution ergibt das:


Ist das korrekt?

Danke
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hansi20
Zitat:
Original von outSchool

1. Substitution





Hier meinst du wohl:



oder?

Nein.



Das Volumen sei V:



1. Substitution



Bei der zweiten Substitution ist es einfacher die Grenzen nicht zu substituieren, sondern die Rücksubstitution durchzuführen.

Das Ergebnis ist einfach.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hansi20
Wenn das die Grenzen sind, dann komme ich soweit:



Hast du ne Idee wie ich das Integral rausbekomme?
Hier hakt es bei mir.


Ich denke, es muß richtigerweise heißen.

Falls du die Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale schon kennst, kannst du dir die Rechnung mit einer linearen Substitution stark vereinfachen. Ansonsten ignoriere das Folgende.

Die Kernidee ist, daß man als neue Variable einführt (das entspricht der von dir auch vorgenommenen quadratischen Ergänzung). Dann gilt:



Damit jetzt links und rechts verschwindet und das störende links gleich mit, führt man durch eine weitere Variable ein. Nur aus ästhetischen Gründen wird auch noch gesetzt. Fassen wir zusammen: Mit der Variablentransformation



besteht die Äquivalenz



Und da die Funktionaldeterminante der Transformation auch noch 1 ist, geht das jetzt ganz schnell:



Das innere Integral ist aus der Elementargeometrie bekannt. Und die verbleibende Integration nach ... reden wir nicht davon!
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