Im(Abbildung_1) = Kern(Abbildung_2)?

14.07.2009, 14:53

quiris

Im(Abbildung_1) = Kern(Abbildung_2)?

Hallo!

Ich verstehe folgenden Aufgabe nicht und möchte euch um Hilfe bitten:

Sei $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \varphi(x):= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} x \end{eqnarray*}$
Bestimmen sie eine Matrix B so, dass die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi : \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3}, x \rightarrow Bx \end{eqnarray*}$ als Kern genau $\begin{eqnarray*} Im\varphi \end{eqnarray*}$ hat.

Wie muss ich vorgehen? Vielen Dank und viele Grüße!

14.07.2009, 15:03

Sly

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Rechne zunächst das Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus; es handelt sich hier um eine lineare Abbildung, also ist das leicht.

14.07.2009, 15:58

quiris

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OK, das habe ich jetzt gemacht. Ich hoffe ich habe das richtig verstanden. Das Bild erhält man doch in dem man doch so, oder?

$\begin{eqnarray*} \varphi(x):= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 \\ x_1 - x_2 - 7x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern einer Abbildung sind doch alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Also $\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb L_0(Bx) = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder?

Danke für deine Antwort!!!

14.07.2009, 16:42

Sly

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Nein! Typischer Anfängerfehler: Das Bild ist eine Menge von Vektoren...was da steht, ist ein Term. Da muss man schon ein wenig weiterdenken.
Die Menge aller Vektoren, die diese Form haben, ist gefragt!

14.07.2009, 17:18

Reksilat

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Wenn man die lineare Abbildung als Matrix gegeben hat, so ist das Bild gerade das Erzeugnis der Spalten der Matrix.

Ansonsten siehe auch: [Artikel] Basis, Bild und Kern

Gruß,
Reksilat.

14.07.2009, 17:38

quiris

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Ich habe mir grade den Artikel mal durchgelesen. Ich hab ja totalen Quatsch gemacht Hammer

.
Also ich muss die Abbildungsmatrix (M) transponieren.

$\begin{eqnarray*} M^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese bringe ich dann mit Gauss auf Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & -7 \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & -6 \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & -6 \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann transponiere ich wieder und kann die Basisvektoren des Bildes ablesen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow Im(\varphi) = span \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt so richtig?

14.07.2009, 17:40

Reksilat

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Korrekt!

14.07.2009, 18:37

quiris

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RE: Im(Abbildung_1) = Kern(Abbildung_2)?
Gut, danke an euch beide! Leider komme ich so noch nicht ganz auf den Lösungsweg für die Hauptaufgabe.

Zitat:

Original von quiris
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \varphi(x):= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} x \end{eqnarray*}$
Bestimmen sie eine Matrix B so, dass die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi : \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3}, x \rightarrow Bx \end{eqnarray*}$ als Kern genau $\begin{eqnarray*} Im\varphi \end{eqnarray*}$ hat.

14.07.2009, 18:56

Sly

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Du hast ja jetzt für das Bild zwei Basisvektoren gefunden.
Nun kannst du diese ergänzen zu einer Basis des gesamten Raumes, zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} e_3= (0,0,1) \end{eqnarray*}$ .
Nun suchst du eine Matrix, die genau den Kern hat, der von obigen zwei Basisvektoren aufgespannt wird.
Nun...zum Beispiel gewähltleistet diejenige lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das, die bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=(v,w,e_3), \operatorname{Im}\varphi=\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ folgende Gestalt hat

$\begin{eqnarray*} M_\mathcal{B}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ein Basiswechsel bringt dich zu gewünschter Matrix B.

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