Induktion Summe > Term

14.07.2009, 15:47

gescom

Induktion Summe > Term

Hallo!

also ich rechne hier einige Aufgaben für die Klausur und bei der Induktion habe ich noch einige Schwierigkeiten. Nach 2 Stunden rechnen bin ich zum folgendem Ergebniss gekommen, könnte jemmand sagen obs so stimmt?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3 > \frac{1}{4} n^4 \forall \mathrm {n} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Schritt 1,2 überspringe ich jetzt mal:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3 + (n+1)^3 > \frac{1}{4} (n+1)^4 <br /> <br /> \sum ... > \frac{1}{4} (n^4+4n^3+6n^2+4n+1) <br /> <br /> \sum ... > \frac{1}{4}n^4+n^3+\frac {6} {4}n^2+n+\frac {1}{4} \end{eqnarray*}$

an dieser stelle sage ich das :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3 = n \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} n^4 = n \end{eqnarray*}$
was ja schon gezeigt wurde und jetzt betrachte ich nur noch den rest term auf jeder seite

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 > n^3+ \frac {6}{4} n^2+ n + \frac {1}{4} \end{eqnarray*}$
wahr...

also langt mir das als Beweis?

da ich mit der normalen methode also rechts das $\begin{eqnarray*} \frac {1}{4} n^4+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$
nie auf das $\begin{eqnarray*} \frac {1}{4}(n+1)^4 \end{eqnarray*}$
bringen kann.

14.07.2009, 15:56

IfindU

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Das musst du auch nicht zeigen, das gibt die Aufgabenstellung auch nicht vor. Du musst nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}n^4 + (n+1)^3 \leq \frac{1}{4}(n+1)^4 \end{eqnarray*}$ ist.

14.07.2009, 15:57

gescom

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kleiner Nachtrag:

die Annahme ist ja das aus n -> n+1 folgt

dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3 > \frac {1}{4} n^4 \end{eqnarray*}$

und betrachte dann nur noch den restterm:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 > n^3 + \frac {6}{4} n^2 + n + \frac {1}{4} \end{eqnarray*}$

14.07.2009, 16:07

gescom

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$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4}n^4+n^3+3n^2+3n+1 < \frac {1}{4}n^4+n^3+\frac {6}{4}n^2+n+\frac {1}{4} \end{eqnarray*}$ verwirrt

das stimmt ja dann nicht... falls du die größer meintest... schon

aber das läuft doch auf das selbe hinaus wie ich oben schrieb oder etwa nicht?

14.07.2009, 16:10

Airblader

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Zitat:

Original von gescom
die Annahme ist ja das aus n -> n+1 folgt

Glaubst du das wirklich?

air

14.07.2009, 16:19

gescom

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ok

falls die Aussage für n wahr ist, ist sie das auch für n+1.... das Behaupte ich...
stimmts es so?

14.07.2009, 16:21

Airblader

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Korrekt. Sorry für den Zwischenruf, aber in der HS-Mathematik sollte man doch schon ein bisschen Konsequenz zeigen und sich eine ordentliche Sprache angewöhnen.

Nun aber zurück zum (eigentlichen) Problem ..

air

14.07.2009, 16:45

gescom

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korrekt wäre ja zu behaupten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3+(n+1)^3>\frac {1}{4}n^4+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

um dann rechts auf die gleichung für n+1 zu kommen, also aus

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4}n^4+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4} (n+1)^4 \end{eqnarray*}$

aber das funktioniert bei mir nicht.... ausser da gibts es einen Trick der nicht in meiner Trickkiste vorhanden ist.

es würde funktionieren

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4}n^4 + n^3 +3n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4} (n^4+4n^3+12n^2+12n+\frac {1}{4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4} ((n+1)^4+(6n^2+8n+\frac {3}{4})) \end{eqnarray*}$

aber da ist nun schluss.....

14.07.2009, 18:27

gescom

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hab mal versucht von

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(n+1)^4 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}n^4+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

zu kommen

das ist dabei rausgekommen

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3 + (n+1)^3 > \frac{1}{4}n^4(1-\frac{6}{n^2}-\frac{8}{n^3}-\frac{3}{n^4})+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

das sagt mir aber leider nicht mehr als die ungleichung ganz oben.

14.07.2009, 18:54

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@gescom

Dein Problem sind nicht die algebraischen Umformungen, die hier nötig sind - die stehen alle schon in deinem ersten Beitrag. Es scheint mir viel mehr mangelhaftes Verständnis des Prinzips der vollständigen Induktion zu sein, die dich das alles so chaotisch und wirr darbieten lässt. unglücklich

Ich picke mal alles aus diesem ersten Beitrag raus, was du im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ nur brauchst:

Zitat:

Aus der Induktionsvoraussetzung für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wissen wir

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^3 > \frac{1}{4}n^4 \qquad (1) \end{eqnarray*}$

Du selbst hast

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 > \frac{1}{4} ( 4n^3+6n^2+4n+1) \qquad (2) \end{eqnarray*}$

gezeigt. Beide Ungleichungen addiert ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^3 + (n+1)^3 > \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{4} ( 4n^3+6n^2+4n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} i^3 > \frac{1}{4}(n+1)^4 \end{eqnarray*}$ ,

das ist die zu beweisende Induktionsbehauptung, fertig.

14.07.2009, 19:28

gescom

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danke Arthur

ich denke dann habe ich ja schon alles im ersten Beitrag gezeigt? Das war wohl ziemlich missverständlich ausgedrückt, da ich zu faul war die komplette Induktion mit latex zu schreiben.

die idee war ja zu sagen das sich die summe für i^3 in der relation zu 1/4n^4 nicht für n+1 ändert. Da unser n stimmt und unser letzer summand links ebenfalls größer ist als rechts.

was mir aber nicht ganz klar ist, was nun die Ind. Vorraussetzung ist?
Bei mir ist
1) Ind.Anf: gilt für n=1 ( kann natürlich anderen anfangswert haben )
2) Ind.Ann: Behauptung gilt für n+1
3) Ind.Schluss: da wird gerechnet und gezeigt das von n->n+1 gilt.

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