Die ewigen Mathe-Fehler |
| 14.07.2009, 21:30 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Die ewigen Mathe-Fehler In der Schulmathematik gibt es ja bestimmte Fehler, die irgendwie immer und immer wieder gemacht werden: irrationale Zahlen wie rationale zu behandeln, die Zuordnungsvorschrift einer Funktion mit der Funktion selber zu verwechseln („Was ist die Ableitung von x²?“ u. ä.) und falsche Klammersetzung. Oder auch kleinere Sachen, z. B. dass beim Wurzelziehen immer zwei Ergebnisse entstehen und Radizieren die allgemeine Umkehroperation von Quadrieren ist. Auch das „Rechnen mit der Unendlichkeit“ bei bestimmt divergenten Folgen würde ich dazuzählen. Das wird ja wirklich von fast jedem falsch gemacht (wurde es von mir auch), d. h. über alle Schul-, Stadt- und Ländergrenzen hinweg. Ich frage mich, wie das sein kann, also warum trotz völlig unterschiedlicher Schulkarrieren und ganz anderer Lehrer dennoch (fast) alle bei diesen Fehlern landern. Ist der übliche Ansatz im Mathe-Unterricht generell „falsch“? Oder verleiten bestimmte Schreibweisen in der Mathematik zu Missverständnissen? Oder gibt es irgendeinen anderen Grund? Mein Eindruck ist, dass es zu einem großen Teil an den Schreibweisen liegt. Also Schreibweisen wie oder nötigen einen ja regelrecht dazu zu glauben, dass der Grenzwert des Terms a_n gebildet wird und der Term f(x) integriert wird. Bei alternativen Schreibweisen wie (a die Folge) bzw. käme das Missverständnis wohl nicht so schnell auf. Dasselbe bei den Unendlichkeitssymbolen. Bei den irrationalen Zahlen liegt es wahrscheinlich daran, dass die rationalen Zahlen ein „Übergewicht“ im Unterricht haben? Brüche bespricht man ja von Grundschule an bis in die Mittelstufe, irrationale Zahlen werden viel später eingeführt, und das wahrscheinlich auch eher nebenbei. Eine „Mitschuld“ trägt wahrscheinlich auch der Taschenrechner. Welche Gründe könnte es sonst geben? |
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| 14.07.2009, 21:41 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich seh die Schule auch als Hauptproblem, da Schüler mit zu vielen Informationen bombadiert werden, z.b. stehen dann Terme, die zu vereinfachen sind wie: (x^2-y^2)/(x+y). Das sind natürlich Klammern, die überflüssig sind, die Schule es aber nicht einsehen will. Würde man die Schüler nicht ärgern, und einfach x^2-y^2/x+y schreiben wüsste jeder was gemeint ist und müsste sich nicht erstmal die unnötigen Klammern wegdenken. |
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| 14.07.2009, 21:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die, die sich für Mathe interessieren, legen die Fehler irgendwann ab (aber auch nur, wenn sie gerade nicht zu faul sind) und für den Rest reicht es halt auch, wenn sie diese Fehler mitschleppen. |
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| 14.07.2009, 21:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn da mal nicht einer provozieren will... 
Ich weiß nicht so genau, ob du den Bullshit wirklich ernst meinst, den du da von dir gibst. Falls es Satire sein sollte, dann könnte die ein ungeübter Leser missverstehen, deswegen nochmal klar und deutlich: Die von dir als überflüssig bezeichneten Klammern sind notwendig, denn die Terme sind offensichtlich verschieden. |
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| 14.07.2009, 22:22 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich dachte war offensichtlich genug, besonders bei der schönen Kürzmöglichkeit bei der Klammerversion - und wenn ich Jacques nicht absolut falsch verstanden habe, war er auch eher satirisch. (Wenn das wirklich so ist, tut mir der unnötige Sarkasmus in meinem Text leid und ich distanziere mich von mir selbst :god 
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| 14.07.2009, 22:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
War für mich nicht zu erkennen, dazu kenne ich dich wahrscheinlich nicht gut genug. 
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| 14.07.2009, 22:37 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso satirisch? 
Ich habe mich (ernsthaft) gefragt, woher diese Standardfehler in der Schulmathematik kommen. Also warum z. B. so viele die irrationalen Zahlen nicht als eigenständige Zahlen ansehen, sondern noch irgendwie zu Q zählen. Viele lassen Ergebnisse wie oder o. ä. ja nicht einfach stehen, sondern tippen zehnstelligen Dezimalbrüche aus dem Taschenrechner ab. Woher kommen solche Fehler? Das wird ja nicht im Unterricht gelehrt oder so. |
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| 14.07.2009, 22:41 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bezog mich auf: Ist das etwa wirklich falsch und richtig? |
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| 14.07.2009, 22:49 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach so. Das obige ist ja nicht falsch, ich meinte das nur als Beispiel für eine missverständliche Schreibweise. Bei Ausdrücken wie denkt man ja im ersten Moment, dass der Term 4x² + 1 integriert wird. Und nicht die dahinter stehende Funktion Deswegen wäre es vielleicht günstiger, das Integral so zu schreiben: D. h., die Funktion f wird integriert. Und f ist eben durch die Vorschrift f(x) = 4x² + 1 festgelegt. Also sowas wie finde ich missverständlicher als das gleichwertige |
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| 14.07.2009, 23:03 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ganz spontan denke ich, dass diese Schreibweise viel von ihrer Problematik verliert, sobald der Unterschied zwischen Term und Funktion klar ist. In der Schule ist das jedoch oft nicht der Fall. |
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| 14.07.2009, 23:15 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, dann hat ich dich nur falsch verstanden, dann passt der Sarkasmus in meinem ersten natürlich nicht mehr, ziehe alles zurück 
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| 14.07.2009, 23:23 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei Dingen wie "Was ist die Ableitung von " würde ich viel auf Faulheit und Bequemlichkeit schieben. Außerdem kann man, denke ich, nicht von jedem erwarten, dass entweder a) das Interesse an der Beschäftigung mit Mathematik oder b) das nötige Abstraktionsvermögen vorhanden ist. Wer kann es Ihnen verübeln? Nicht jeder muss Mathe toll finden, und nicht jeder ist mathematisch begabt, kann dafür vielleicht 7 Fremdsprachen fließend (was sich ja nicht ausschließen muss). Die Notwendigkeit der Strenge mathematischer Schreibweisen ist sicherlich auch nicht Jedem ersichtlich; wer Mathe als notwendiges Übel in Schule oder als Nebenfach im Studium hat, kann verständlicherweise nicht das nötige Interesse aufbringen. Vergesst doch bitte nicht, wie lange Ihr alle gebraucht habt, bis ihr von euch selber sagen konntet "Ich bin ein Mathematiker"
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| 14.07.2009, 23:44 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auf die beiden Beispiel im Eröffnungspost bezogen: Diese "besseren" Schreibweisen sind in meinen Augen viel problematischer, denn sie sind vor allem falsch. Damit meine ich nicht formal, das wissen wir ja alle. Ich meine, schon vom Gedanken her wäre es falsch. Eine Folge heißt nunmal nach dem mathematischen Gebrauch nicht , sondern . Oder, wie es manche Autoren pflegen, sogar . Eine Folge schlicht "a" zu nennen, weil es eine Abbildung ist, die diesen Namen hat, habe ich jedenfalls nie wirklich beobachten können. Und natürlich sagt man, dass man über eine Funktion integriert. Doch letztlich steht dort eine unendliche Summe des Produktes von Funktionswerten und einer infinitesimal kleinen Breite - nicht wahr? Die Funktion selbst ist ein Konstrukt mit gewissen Eigenschaften. Dieses Konstrukt selbst hat dort in meinen Augen nichts verloren. Edit: Und das Beispiel "... Ableitung von x²" führe ich schlichtweg darauf zurück, dass der Funktionsbegriff als mathematisches Konstrukt in der Schule kaum und/oder unzureichend erklärt wird; Funktionen werden hier schlicht mit Graphen von Funktionen gleichgesetzt, genauso mit den Funktionsvorschriften. Was man in der Schule macht ist zu einem Prozentsatz deutlich über 50% nicht Mathematik, sondern "Rechnen". Nicht unsinnvoll, aber eigentlich sollte man es auch entsprechend benennen (finde ich). Wie mein ehem. Lehrer immer sagt: "Mathematik fängt dort an, wo Zahlen aufhören". Mit "reiner Mathematik" können Schüler nachher nicht viel anfangen, denn wo braucht man später Topologie-Kenntnisse, wenn nicht im Mathematikstudium (wo man es dann sowieso lernt)? Wichtiger ist es für Ingenieure, zu wissen, dass 2+2=4 ist, wie man Integrale berechnet (sei es auch nur am PC und dann müssen es die Informatiker können) und dass Pi gleich 3 ist.
air |
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| 15.07.2009, 00:14 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube diese Fehler entstehen, weil viele Schüler gar nicht die Zeit haben um sich so intensiv mit Mathe zu beschäftigen. Sie können das, was sie schreiben, auch wegen fehlendem Hintergrundwissen nicht als falsch erkennen. Es erfordert eben schon größere, teils philosophische, Überlegungen, um etwas wie dein angesprochenes "Integralproblem" zu verstehen. |
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| 15.07.2009, 03:11 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm, das mit der Bequemlichkeit stimmt. Wahrscheinlich kommt dann vieles doch vom Lehrer: Am Anfang werden die Sachen mehr oder weniger gründlich eingeführt, aber mit der Zeit kürzt man die Schreibweisen und Formulierungen immer weiter ab und sagt eben nicht mehr jedesmal „die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x²“, sondern einfach „die Ableitung von x²“. Wer dann eben nicht genau aufpasst oder generell keinen Überblick hat, kennt am Ende nur noch die verkürzten Schreibweisen. Das klingt logisch. :-) Zum Interesse: Natürlich hat nicht jeder einen Zugang zu Mathe, und wenn man den nicht hat, macht man auch mehr Fehler. Mich hat aber gewundert, dass es immer dieselben Fehler zu sein scheinen. Man kann ja sehr viel falsch machen oder missverstehen, aber trotzdem gibt es eben diese wenigen „Standardfehler“. Deswegen die Überlegung, ob es irgendwelche Fallen bei den Schreibweisen o. ä. gibt. @ Airblader: Natürlich sind diese Schreibweisen mit dem „dx“ u. s. w. alle intuitiv sehr einleuchtend. Aber ich finde sie zu „naiv“, wenn es um die Darstellung der wirklichen Abläufe geht. Man addiert ja nicht tatsächlich eine unendliche Anzahl von winzigen Größen, sondern berechnet abstrakt bestimmte Grenzwerte. Ein Schüler hat aber diese ganzen strengen Definitionen nicht unbedingt im Hinterkopf, sondern stützt sich eben in erster Linie auf die – meiner Meinung nach – missverständlichen Schreibweisen. Vielleicht wäre dann eine andere Notation doch besser? Bei den Folgen hast Du Recht, eine Folge z. B. nicht (1/n) zu nennen, sondern etwa 1/N mit N = id_N, ist definitiv etwas merkwürdig. Aber bei den Integralen finde ich die f-Schreibweise auf jeden Fall besser: näher an der Abstraktheit der tatsächlichen Definitionen und in in dem Zusammenhang auch einleuchtender – und kürzer, denn man kann ja dieses „dx“ einfach weglassen. Ich meine, so wie der komische Pseudo-Bruch an den Schulen ja praktisch durch die f'-Schreibweise ersetzt worden ist, so könnte man doch auch langsam die Integralschreibweise modernisieren. |
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| 15.07.2009, 05:57 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denke auch, daß vieles einfach auf Bequemlichkeit zurückzuführen ist. Wenn alle wissen, was im Grunde gemeint ist, wäre das ja auch kein Problem. Das eigentliche Problem ist dann höchstens, daß in der Schule irgendwann diese vielleicht unzutreffende Annahme gemacht wird, womit man dann die Schüler, die es nur halb verstanden haben, unter Umständen komplett verwirrt. Der zweite Punkt ist meiner Meinung nach, daß ein Großteil der mathematischen Symbolik aus einer Zeit stammt, in der man selbst als Mathematiker noch kein richtiges Verständnis der Sache hatte. Immerhin hat die Analysis mit ihren infinitesimalen Größen jahrhundertelange philosophische Diskussionen über ihre logische Fundierung ausgelöst. Die heutige Symbolik der Differential- und Integralrechnung geht meines Wissens auf Leibniz zurück (Newton hatte eine andere Symbolik) und wurde in diesem Sinne seitdem nicht wesentlich geändert. Vielleicht geht die erste wirkliche Änderung der Notation auf Dirac zurück, wobei ich nicht weiß, ob und wie exakt die Bracket-Schreibweise auf alle Integrale übertragen werden kann. Dirac hatte ja wohl vor allem pragmatische Gründe für seine Notation, denn Bücher über Integralrechnung oder ihre Anwendung in der Physik sind wirklich allein aufgrund der Symbolik für das Auge des Lesers ein Grauen. Außerdem gibt es ja selbst unter Mathematikern abweichende Auffassungen, was die Symbolik im Detail bedeutet und welche Notation aus welchen Gründen vorzuziehen ist (dazu muß man nur verschiedene Lehrbücher durchschauen). Probleme ähnlicher Art scheint es mir schließlich in allen Wissenschaften zu geben. Fazit: Viele Notationen sind in irgendeiner Weise problematisch, verwirrend oder treffen den Kern der Sache nur unzureichend. Aber irgendeine Notation braucht man eben und wenn man diese neuentwickelt, ist nicht gesagt, daß es nachträglich gleich die beste war (im Gegenteil, die Erfahrung zeigt, daß das eher die Ausnahme ist). Aber wer das weiß, kann damit in der Regel sehr gut umgehen. Fragen zur Nomenklatur und Notation sind nicht unwichtig, es kann sinnvoll sein, sich immer mal wieder zu hinterfragen, was es eigentlich bedeutet, wenn man etwas für sich in einer bestimmten Weise notiert, aber andererseits stellen sie in der Regel für den Fachmann kein Problem dar. Sie sind in diesem Sinne also auch wieder nicht so wichtig, so daß die Beschäftigung meist denen vorbehalten ist, die selbst keine wichtigeren fachlichen Probleme mehr zu lösen haben (zumeist alte Männer, die zwar mal eine beste Zeit hatten, die aber schon länger vorbei ist). Oder, um es provokant auszudrücken...anstelle Zeit damit zu vertun, eine bessere Notation zu entwickeln, soll man mathematische Probleme lösen (außer die Notation selbst hindert einen daran, dann kann man diese halt im Zuge des Problemlösen nebenbei verbessern) :-) |
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| 15.07.2009, 10:24 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also warum es für einen Schüler verständlicher sein soll folgendes zu schreiben müsste mir nochmal jemand erklären Ich sehe da absolut keinen Vorteil. Im Übrigen dürfte sowas, wenn es an Substitution geht, sogar erhebliche Nachteile bringen. air |
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| 15.07.2009, 12:11 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo,
da muss ich voll zustimmen. Und spätestens wenn man Funktionen in mehreren Variablen betrachtet (an vielen Schulen Stoff der Oberstufe), kann man die Schreibweise für z.B. vergessen. Wenn ich schreibe, integriere ich über x, über y oder zuerst über x und dann über y? Deswegen ist die Schreibweise in meingen Augen deutlich eingängerlicher und praktischer, denn ich weiß, dass f über x integriert wird und y als eine Art Konstante behandelt werden muss. Ebenso verstehe ich nicht, was du so tragisch an findest. Das Problem an den Schulen entsteht zumeist durch die Lehrer, den Unterrichtsplan und die Unterrichtsbücher: Oftmals hat man so unsinnige Vorgaben wie 'Kürzen Sie soweit wie möglich' und dann muss man z.B. auf 'kürzen'. Ähnlich bei irrationalen Zahlen. Hat man als Ergebnis sqrt(3)/2, würde dieses oft als Fehler angestrichen werden. Stattdessen wird man genötigt, sqrt(3) per Taschenrechner auszurechnen und es hinzuschreiben. Ebenso finde ich es grausam, dass man in der Schule, zumindestens in denen die ich keinen, nicht den Begriff der Definition gibt. Dort gibt es dann lange Aufgaben und dann steht dort soetwas: "... mit a=2 ..." Wird a jetzt als 2 definiert oder folgt irgendwie daraus, dass a=2 sein muss? Gerade wenn man als Mathe-Student Nachhilfe gibt, sind diese fehlenden Definitionen (in den Mathebüchern der Oberstufe!) einfach grausam. Ein anderes Problem ist auch, dass die Aufgaben meistens die erwartete Lösung haben. Sonderfälle (z.B. ) werden dort dann meistens nicht betrachtet. |
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| 15.07.2009, 13:13 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also zwei der Dinge finde ich erschreckend, wenn die so sind, ist mir aber nie begegnet. Ich kenne es, dass es als "nicht vollständig" betitelt wird, wenn man den Nenner nicht rational gemacht hat. Aber wenn mir jemand angestrichen hätte, weil ich die Wurzel mit dem TR nicht gezogen (angenähert) habe - und die Aufgabe dies nicht explizit verlangt -, hätte ich mich beschwert. Ausnahme ist natürlich, wenn man "Wurzel 4" hat. Dass man hier "2" schreiben sollte kann man verlangen, wenn es ums Vereinfachen geht. Und das mit den Büchern .. also unsere Bücher kennen den Begriff "Definition". Sie haben idR sogar "Exkurse", weshalb die Bücher in vielen Bereichen ganz gut sind. Dafür haben sie zT auch ganz dumme Denkfehler, weil zB e-Fkt. drankommen, obwohl diese noch gar nicht behandelt wurden. Aber das sind Ausnahmen, die man ignorieren kann. Vielleicht sind unsere Bücher auch rein zufällig ganz gut.
air |
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| 15.07.2009, 15:03 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Zu den Schreibweisen noch: Ich finde die übliche Integralschreibweise einfach schlecht für jemanden, der nur ein oberflächliches Wissen hat und die genaue mathematische Definition nicht kennt. Wenn man weiß, was ein Integral tatsächlich ist, hat man natürlich keine Probleme mit der Schreibweise, weil man sie richtig liest. Also es ist einem klar, dass nicht irgendwelche ominösen winzigen Teilchen addiert werden oder so, und man hat immer die abstrakte Definition im Hinterkopf. Aber ohne dieses Vorwissen würde ich den Ausdruck wahrscheinlich so lesen: Es geht um den Term x², und damit wird irgendwas gemacht. Das stimmt aber ja gar nicht. Ein Integral ist doch ein „Operator“, der sich auf eine Funktion bezieht. Also es geht nicht um den Term x² oder irgendwelche Quadrate von Zahlen, sondern man integriert eine Funktion. Dann ist die Schreibweise doch absolut folgerichtig und auch viel besser zu verstehen. Man sieht sofort, dass eine Funktion integriert wird, nicht ein Term. Was aus meiner Sicht generell das Problem ist: Unter Mathematikern gibt es irgendwie eine Sprachregelung, wo vieles nicht genau so aufgeschrieben wird, wie man es tatsächlich meint. Und umgekehrt darf man viele Schreibweisen nicht für bare Münze nehmen. Das macht es einem Anfänger sehr schwer! Als Beispiel: Es heißt dauernd „der Körper R“ u. ä. In Wahrheit ist aber ja gar nicht eine bloße Menge gemeint, sondern eine Struktur aus dieser Menge und bestimmten Verknüpfungen. Wer das weiß, hat natürlich keine Probleme mit der verkürzten Formulierung, aber für einen Anfänger wäre die Tripel-Definion o. ä. ganz bestimmt besser. Ich weiß das aus eigener Erfahrung: Bis ich kapiert habe, dass eine Relation eben nicht nur eine Menge von Paaren ist – auch wenn alle so tun –, hat es eine ganze Weile gedauert. Eine genauere Schreibweise bzw. Formulierung hätte mir das Verständnis sehr erleichtert. Wie gesagt, ich finde ja nicht, dass die Schreibweisen generell schlecht sind oder so. Und die Bedeutung für die wissenschaftliche Mathematik kenne ich sowieso nicht. Aber hier geht es ja um Schüler. Dass es bei dem Vorschlag für die Integralschreibweise Nachteile gibt, finde ich übrigens nicht: Die Substitutionsregel schreibt sich einfach als Ob man diese symbolische Substitution mit dem dx auch übertragen kann, weiß ich nicht, aber es müsste doch möglich sein? Über welche Variable integriert wird, ist schon bei der Funktion selber festgelegt. Wenn dort in der Vorschrift mehrere Variablen sind, von denen mal die eine, mal die andere die Funktionsvariable sein soll, kann man einfach eine neue Schreibweise einführen. Z. B.: f/z soll heißen, dass aus f eine neue Funktion gebildet wird, indem man z als neue Funktionsvariable festlegt. Beispielsweise Dann heißt , dass man über x integriert. Und heißt, man bildet die neue Funktion mit f(y) = x² + y und integriert dann über y. Es ist aber natürlich klar: Keine Schreibweise kann verhindern, dass die Sachen im Unterricht doch wieder verkürzt werden. Bei Integralen z. B. rechnet man ja naturgemäß ständig mit Termen, und deswegen liegt die Formulierung „das Integral von x²“ eben sehr nahe. |
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| 15.07.2009, 15:31 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, irgendwie überzeugt mich das Ganze überhaupt nicht von irgendwelchen Problemen und die dann gelöst werden. Und dein Alternativvorschlag für mehrdimensionale Funktionen könnte wiederum falsch interpretiert werden, nämlich als Integral über den Quotienten zweier Funktionen. Wie gesagt - ich sehe da beim besten Willen weder die von dir angesprochenen Probleme, noch sehe ich sie dadurch zufriedenstellend beseitigt. air |
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| 15.07.2009, 15:59 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mal eine mathematische Zwischenfrage: Was gehört denn noch zu einer Relation? |
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| 15.07.2009, 16:20 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@ Airblader: OK. Nur um es nochmal auf den Punkt zu bringen: Für mich gibt es eine große Diskrepanz zwischen der Schreibweise und dem Objekt. Integrale sind ja eben keine Summen von Infinitesimalen – was auch immer das sein mag –, sondern Grenzwerte von Summenfolgen. Trotzdem tut man immer noch so, als würde man Funktionswerte mit diesem ominösen „dx“ multiplizieren und die Ergebnisse dann aufsummieren. Ich fände für den Unterricht eine Schreibweise besser, die näher an der mathematischen Realität ist und nicht einen falschen Eindruck vermittelt. @ Ungewiss: Die Grundmengen, auf die sich die Relation bezieht. Sonst kann man ja z. B. „Relation von A nach B“ gar nicht sagen, denn es sind überhaupt keine Mengen A und B an die Relation gebunden. |
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| 15.07.2009, 17:02 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ganze ist doch total aussichtslos und führt zu nichts. Es ist unmöglich, innerhalb der Schulmathematik in angemessenem Aufwand alles sauber zu definieren und den Schülern ein derartiges Verständnis über die mathematischen Objekte zu verschaffen. Warum auch? Sicher, zu schlampig sollte es nicht sein. Aber von 30 Schülern in einer Klasse werden 28 höchstwahrscheinlich dieses Verständnis auch nie brauchen - um die 15 von ihnen müssen jedoch im Zuge ihrer künftigen Ausbildung wissen, wie man mit diesen Objekten umzugehen hat. Was interessiert denn einen Ingenier, ob das Integral nun ein Grenzwert von Summenfolgen oder nun eine Summe von Infinitesimalen ist - hauptsache, er ist in der Lage, diese auszurechnen und auch mal kniffligere Integrale zu lösen. Und wenn es DARUM geht, ist der Leibniz'sche Integrationskalkül mit dem deiner gewünschten Schreibweise um einiges voraus, da sie wunderbare Merkhilfen und Eselbrücken auch für "Laien" möglich macht. |
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| 15.07.2009, 21:51 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich kann man im Schulunterricht nicht alles ganz exakt definieren. Aber dass man sagt, die meisten werden ein tieferes Verständnis sowieso nie bekommen und auch nie brauchen, finde ich genau so falsch. Die Schulthemen doch keine Geheimwissenschaft für einige wenige Auserwählte. :-( Im Unterricht wird ja auch sehr wohl alles mehr oder weniger genau besprochen. D. h., man hat vorher Grenzwerte definiert und führt dann mit den Unter- und Obersummen das Integral ein. Also legt man ja doch viel Wert auf eine genaues Verständnis. Dann finde ich eine Schreibweise, die mit den tatsächlichen Definitionen harmoniert, nur angebracht. |
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| 15.07.2009, 21:58 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Frage: Forderst du nun, dass die Mathematik in der Schule genauer behandelt wird, oder forderst du viel eher, dass die Mathematik für die Schule zurechtgebogen wird? Klingt für mich nämlich so, als ob du Letzteres als Erstgenanntes verkaufen willst. air |
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| 16.07.2009, 02:26 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab bestimmt noch nicht so lange bzw. gründlich über die Integraldefiniton nachgedacht, aber aus meiner Sicht machen Infinitesimale Größen doch seit der Nichtstandardanalysis keine logischen Probleme mehr und Integrale sind darin ohne Grenzwertbildung definiert? In diesem Zusammenhang wäre dann zu fragen, was ein "Integral" als mathematisches Objekt nun wirklich ist? Ich glaube, das kann man endgültig gar nicht definieren. In seinem Buch "A very short introduction - Mathematics" hat Timothy Gowers da einen sehr pragmatischen Standpunkt eingenommen. Man definiert bestimmte Dinge so, daß die Definition zu keinen Widersprüchen führt und mathematisch praktikabel ist, ohne sich über das Wesen des dahinterstehenden mathematischen Objektes Gedanken zu machen, was in der Regel eher eine philosophische Frage ist und normalerweise schwierig zu beantworten. |
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| 16.07.2009, 04:05 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hm, die Schreibweise wäre schon ein Zurechtbiegen der üblichen Mathematik, aber nur in dem Sinne, dass die Schul-Schreibweise nicht mehr die in der wissenschaftlichen Mathematik benutzte Notation wäre. Aber wo ist das Problem, wenn man für die Lehre eine etwas exaktere (!) Schreibweise benutzt? Sobald allen der Integralbegriff klar ist, kann man ja immer noch zu anderen Symbolen übergehen. Mathematik wird doch sowieso für den Schulunterricht zurechtgebogen, und zwar im Normalfall sogar verkürzt. Dann dürfte doch eine, wie gesagt, exaktere Schreibweise kein Problem sein. Siehe auch das Beispiel mit den algebraischen Strukturen: Ich wäre absolut dafür, dass man in der Lehre die exakten Definitionen benutzt, also Gruppen als Paare, Körper/Ringe als Tripel u. s. w. definiert. Später kann man diese Definitionen ja immer noch abkürzen. Aber mit den verkürzten Schreibweisen und Formulierungen anzufangen und es dem Schüler (oder Stundenten) zu überlassen, die eigentlich gemeinten Definitionen selber herauszufinden, halte ich für keine so gute Idee. Meiner Meinung nach ist es wirklich ein Unding, dass man als Schüler eigentlich nur zwei Möglichkeiten hat: Die Unlogik der Schreib- und Redeweisen zu ignorieren und sich gar nicht erst um ein tieferes Verständnis zu bemühen. Oder aber mit viel Anstrengung zu versuchen, die das eigentliche Gemeinte herauszufinden und das Unausgesprochene zu ergänzen. Z. B. „wenn der Lehrer vom ‚Körper R‘ redet, meint er in Wahrheit den ‚Körper (R, +, *)‘. Wenn der Lehrer das Symbol aufschreibt, meint er nicht, dass irgendetwas mit dem x² passieren soll, sondern es geht um eine abstrakte Operation auf der Funktion u. s. w. Hm, vielleicht seid Ihr einfach schon zu erfahren und abgebrüht, um Euch an solchen Widersprüchen noch zu stören. 
OK, aber die Nichtstandardanalysis wird ja nicht in der Schule gelehrt. Wenn es so wäre, dann wäre die dx-Schreibweise absolut perfekt.
Aber dieser pragmatische Standpunkt ist in der Schule doch sowieso üblich? Im Unterricht wird ja nicht lange über das „Wesen von Integralen“ nachgedacht, sondern ein Integral ist einfach das, als das es definiert wurde: ein Grenzwert. Und dann werden ja normalerweise noch Hinweise gegeben, wie man sich das abstrakte Objekt konkret vorstellen kann bzw. mit welcher Motivation Integrale eingeführt wurden (Inhalt einer krummlinig begrenzten Fläche). |
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| 16.07.2009, 10:39 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Moment ... jetzt soll an der Schule eine Schreibweise unterrichtet werden und wenn die Leute dann Ingenieurswissenschaften oder Mathematik studieren sollen sie eine komplett neue lernen? Das kann sicher nicht Sinn und Zweck der Schule sein ! Sicher wird viel verkürzt, viel weggelassen. Aber das, was man in der Schule macht, ist in sich dann doch mathematisch richtig. Jedenfalls, wenn es der Lehrer richtig rüberbringt. air |
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| 16.07.2009, 12:14 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm...ich verstehe dein Problem nicht ganz. Wenn man weiß, daß die Nichtstandardanalysis die logischen Probleme mit infinitesimalen Größen auf einer mathematisch soliden Basis löst, dann kann man doch den Integralbegriff nach Leibniz (nämlich den des Grenzwertes der Summe eines Produktes von Funktionswert und infinitesimalem Flächenelement) entsprechend der gebräuchlichen Notation benutzen? Für den interessierten Schüler kann man ja anfügen, daß es historisch zunächst Definitionsschwierigkeiten bei der Verwendung infinitesimaler Größen gegeben hat, daß diese aber inzwischen (wenn auch für das Niveau der Schule unerreichbar kompliziert) gelöst worden sind. Nach Leibniz wäre es im Grunde genommen auch falsch, wenn man als Term auffasst, denn die Integration bezieht sich ja auf das "Produkt" , einen davon losgelösten Term kann es in dem Sinn nicht geben. Man könnte also höchstens überlegen, ob man diesen Zusammenhang nicht deutlicher hervorhebt (man könnte ja zur Not beides Einklammern oder sich was entsprechendes überlegen). Wenn man als "Term" auffasst, sehe ich noch ein anderes Problem: denn dx könnte in diesem Sinne auch als ein konstanter Faktor angesehen werden und als Schüler würde ich mich fragen, warum ich den nicht vor das Integral ziehen darf. Dann wäre aber Integralrechnung an sich nicht mehr logisch. Also darf ich die Funktion (den Term) und das dx nicht voneinander trennen, und wenn ich das nicht darf, dann gibt es kein Problem, oder? |
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| 16.07.2009, 13:08 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weniger über die Details, eher um das allgemeine "Vereinfachen" an Schulen: Ich gebe Sly Recht, wenn er sagt:
Ich finde es irgendwie vermessen von ein paar Hochinteressierten zu hören, dass die Schulmathematik nicht weitgreifend genug sei, nur "Rechnen" sei und unpräzise, leicht zugängliche Formulierungen schlicht falsch seien. Meine Schulerfahrung sagt mir, dass die paar wenigen, die das bemängeln erstens genug auf dem Kasten haben das an der Uni / in Zusatzveranstaltungen / in der Literatur sich auf eigene Initiative anzueignen. Was übrigens in Mathe und Naturwissenschaften leichter ist, als zum Beispiel in Musik oder Fremdsprachen. und zweitens (die Tatsache brauche ich für das folgende Beispiel) nicht unbedingt die besten Sportskanonen sind (klar gibts Ausnahmen). Wie wäre es denn, wenn ein Leistungssportler ankommt und sagt: Nur 3km einlaufen? Das soll Sport sein? Hochsprung nur 1,62m für eine 1? Volleyball auf so einem niedrigen Niveau und das ganze nur 2 Std pro Woche?! Könnte auch ein Künstler oder ein literarisch Gebildeter (gibt auch hier Ausnahmen, aber die mir bekannten Nerds sind häufig schmalspurig und können nicht mit dem Pinsel umgehen und auch nicht unbedingt viel mit nem Gedicht anfangen) kommen und sich wundern, warum man mit Bleistift und Kohle auskommt und nur 2-3 Werke pro Jahr bespricht. Komischer Weise habe ich noch niemanden gehört, der sich über die anderen primitiven Fächer beschwert. Und es gibt haufenweise Profis auf den Sektoren. Kenne deutsche Meister im Rudern, Gewinner von Aufsatzwettbewerben und sogar einen Kunst-Historik-Frühstudenten. Finde das spricht nicht gerade für uns Vertreter der Mathematik. Die Schmalspurbildung hat unser Schulsystem übrigens selbst hervorgebracht. Man kriegt heute Abitur ohne ein Instrument zu beherrschen, die tägliche Sportstunde zu absolvieren, Das Lied von der Glocke aufzusagen oder das Bundeskabinett benennen zu können. "Spezialisieren" kommt eben besser an in der Wirtschaft. Und die ist schließlich das wichtigste
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| 16.07.2009, 13:46 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verzeih den unqualifizierten Beitrag, aber: PWND
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| 16.07.2009, 14:11 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da gebe ich dir teilweise Recht. Den Vergleich mit anderen Fächern finde ich allerdings weniger passend. Hier gibt es meistens nämlich nur quantitative Unterschiede (1,61m statt 1,8m). In der Mathematik hingegen gibt es eindeutig qualitative Unterschiede. So wird ja z.B. nicht umsonst immer betont, dass Hochschulmathematik "nichts" mit Schulmathe zu tun hat. Ich finde nicht, dass Schulmathe schwieriger werden sollte - aber anders. Es sollte "richtige" Mathematik vermittelt werden (wenn auch auf niedrigem Niveau). Damit meine ich weniger übertriebene Präzission als die Dinge die Mathematik wirklich ausmachen, wie z.B. Zusammenhänge zu erkennen und Tatsachen zu verallgemeinern. Einige Beispiele auswendig zu lernen und diese dann mit leicht veränderten Zahlen rechnen zu können finde ich sinnlos. |
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| 16.07.2009, 14:11 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich gehöre vermutlich zur Nerd-Fraktion (wer nicht, in diesem Forum?), deshalb fand ich die sportlichen Zielsetzungen eher immer ziemlich hoch angesetzt...so nach dem Motto "das Beste gegeben", nur um dann beim Laufen oder Schwimmen zu hören, "ne halbe Minute schneller, hätte noch einen Punkt gegeben". :-) Was das andere betrifft, hat es vermutlich damit zu tun, daß in anderen Fächern eben überhaupt erstmal nicht so eine klare Trennung zwischen richtig und falsch besteht und daß man als Mathematiker, der vor allem erstmal auch alles formal korrekt beweisen muß, da in einer Sonderrolle ist. Ich kann mir solche Fragen höchstens noch bei chemischen Formeln vorstellen, und da weiß ich aus eigener Erfahrung, daß es auch Leute gibt, die darüber nachdenken, wann und wie welche Formel einen Sinn ergeben und wann und wie nicht. Und auch in Chemie werden in der Schule Dinge so stark vereinfacht besprochen, daß man im Studium auch wieder einfach schon gelerntes vergessen muß, weil das in der Schule vermittelte nicht nur einfach, sondern falsch war. |
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| 16.07.2009, 14:14 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was verstehst du denn unter "Nerd" ? |
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| 16.07.2009, 17:20 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Felix:
Ich finde das kommt auch auf den Lehrer an. Da gab es schon einige, die in Klausuren immer eine "1er Frage" gesetzt haben (so wie es 6er-Bremsen gibt, finde beides fair), bei der dann besonders abstrahiert oder etwas bewiesen werden musste. Oder nochmal um eine Ecke weiter gedacht. In den wenigsten Fällen musste da dann noch gerechnet werden. Und rein theoretisch kann man schon in der Mittelstufen-Geometrie Beweise machen. In der Oberstufe erst recht. Und wie gesagt: Bei uns gabs da eine Vielzahl an Nachmittagskursen. Während der arme Ethiklehrer immer jahrelang betteln musste, bis ihm sein Philosophie-Kurs genehmigt wurde. Spocht war natürlich ein hartes Beispiel, aber in Musik fand ichs auch lächerlich, dass manche Leute nichtmal Noten lesen konnten und dann mit dem Geburtsdatum von Mozart ne 1 absahnen
Oder dass in Latein immer nur Latein-Deutsch übersetzt wird und ein Lehrer, der zusätzliche Grammatikfragen stellt oder gar mal eine Stunde in gesprochenen Latein hält, schief angesehen wird. Es gibt also schon auch andere Fächer, in denen die Qualität eine andere ist. Übrigens finde ich es in Mathe ja zumindest an manchen Stellen nachvollziehbar, dass vielleicht mit "echten" Formalismen gearbeitet werden sollte (auch wenn ich da mehr Nachteile als Vorteile drin sehe), aber schaut euch mal die Physik an: Soll dann auf die gesamte Mechanik verzichtet werden, weil außer in der Kollegstufe, keine saubere Vektorrechnung bekannt ist? Soll man auch mit der E-Statik so lange warten, weil vorher kein Gesetz in differentieller (oder gar integraler) Form formuliert werden kann? In Physik musste ich noch viel mehr verdrängen als in Mathe
Aber die paar Tage oder vielleicht Wochen zusätzlicher Aufwand bei einem einzelnen wir mir sind doch ein Witz gegen die vielen Jahre, die 90% der Schüler mitgenommen haben und sie ihre gesamte Physikausbildung nennen dürfen. |
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| 17.07.2009, 11:01 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schau mal unter Wikipedia nach...:-) |
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| 17.07.2009, 21:03 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da hast du sicher Recht. Ich kann halt nur aus meiner persönlichen Erfahrung schließen ...
Ich bin mir sicher, dass in diesem Fach die Probleme ähnliche sind, da die Fächer ja auch relativ verwandt sind. Allerdings kenne ich mich in Physik nicht so gut aus, also kann ich das nicht so gut beurteilen.
Wenn es Wikipedia nicht geben würde
Ich denke aber, dass man nicht generell sagen kann, dass jeder aktive User dieses Forums ein Nerd ist
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| 30.11.2010, 18:05 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beiträge von Grafe wurden samt Antworten entfernt. Gründe: Wer korrigiert Fehler in den mathematischen Grundlagen? und Wie erklärt man die direkte und die indirekte Proportion? |
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